最大値最小値定理 最大値最小値定理の概要

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最大値最小値定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/05/09 22:18 UTC 版)

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この項目では、解析学におけるについて説明しています。統計学におけるについては「ベルジュの最大値定理」をご覧ください。

[a,b] 上定義された連続函数 ƒ(x) の最大値（赤）および最小値（青）

${\displaystyle f(c)\geq f(x)\geq f(d)\quad (\forall x\in [a,b])}$

が成り立つ。関連する定理として、有界性定理（ゆうかいせいていり、英: boundedness theorem）は、有界閉区間 [a,b] 上で連続な函数 f はその区間上で有界であることを述べる。これは適当な実数 m, M が存在して

${\displaystyle m\leq f(x)\leq M\quad (\forall x\in [a,b])}$

が満たされるという意味である。最大値定理は、有界性定理における上界と下界の存在を強めて、最小上界を最大値として、および最大下界を最小値として、それぞれ実現する点が定義域内に存在することまでをも主張するのである。

最大値の定理はロルの定理の証明に利用される。また、ヴァイエルシュトラスによる定式化では、最大値の定理は「コンパクト空間から実数直線の部分集合への連続写像は最大値および最小値をとる」と述べられる。

最大値の原理ともいう。