定理の適用外となる函数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/31 01:47 UTC 版)
「最大値最小値定理」の記事における「定理の適用外となる函数」の解説
定理を用いるには定義域が有界かつ閉であることが必要であることを示す例を挙げる。何れも与えられた区間において最大値を持たないものである。 上に非有界な定義域 [0, ∞) を持つ函数 ƒ(x) = x は上に有界でない。 上に非有界な定義域 [0, ∞) を持つ函数 ƒ(x) = x⁄(1 + x) は有界だが、上限である 1 を値にとる点 x が存在しない。 閉でない定義域 (0, 1] を持つ函数 ƒ(x) = 1⁄x は上に有界でない。 閉でない定義域 (0, 1] を持つ函数 ƒ(x) = 1 – x は有界だが、上限の値 1 をとる点 x が存在しない。 上記例の後二者において ƒ(0) = 0 と定めることで、定理において閉区間上で連続であることが要求されることが理解される。
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