普遍性 普遍性の概要

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普遍性

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/11 01:19 UTC 版)

普遍性の具体例となる構成には他にも、様々な構成における自由対象、核や余核、順極限および逆極限、群に対するアーベル化、集合や様々な空間に対する引き戻しや押し出し（英語: pushout）、ストーン－チェックのコンパクト化などが存在する。

このような構成は個別の数学の分野において議論されていたが、横断的な議論を試みたのは1948年のピエール・サミュエル (en:Pierre Samuel) の論文によって初めて行われ、その後ブルバキによって広められたとされる。

概要

U : D → C を 圏 D から圏 C への関手とし、X をC の対象とする。X から U への普遍射 （universal morphism） は、D の対象 A とCの射 φ : X → U(A) からなる対(A, φ)で表され、かつ以下の普遍性（universal property）を満たす。

• Y がDの対象で f : X → U(Y) が C の射であるような場合、常に D の射 g : A → Y が一意に存在して、次の図を可換にする。

射 g の存在は、直感的には(A, φ)が「十分に一般的」であることを示しながら、一方で射の一意性は、(A, φ)が「過度に一般的ではない」事を表している。さらに、次の関係も成り立つ。

$Hom_{D}(A,Y)\cong Hom_{C}(X,U(Y))$

ここで、人によっては一方を普遍射と呼び、もう一方を余普遍射（co-universal property）と呼ぶ場合もある事に注意されたい。どちらがどちらかはその人次第である。

表現可能関手による定義

エミリー・リール（Emily Riehl）は『Category Theory in Context』において、圏 C の対象 c に対する普遍性（英: universal property）を次のように定義している^[4]：

定義

圏 C の対象 c の普遍性は、表現可能関手 F: C → Set と、米田の補題を通して自然同型 C(c, _) ≅ F（または C(_, c) ≅ F）を定める普遍要素（英: universal element）x ∊ Fc によって表現されるものである。
（ここで Set とは集合の圏のことである。）

定義を言い換えると、c ∊ C の普遍性とは、(表現可能)関手 F: C → Set と x ∊ Fc を用いて米田の補題から定まる自然変換 C(c, _) → F が自然同型であるという性質のことである。

圏 C が小さなhom集合を持つ（各対象 x, y について C(x, y) ∊ Set である）とき、前節で定義した普遍射は普遍要素の特別な場合である。また逆に、普遍要素は普遍射の特別な場合である^[5]。