指数関数

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/06 06:50 UTC 版)

微分

底がネイピア数 $e$ 、すなわち

\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=1

である指数関数 $e x$ の導関数は $e x$ 自身となる。

{\frac {d}{dx}}\,e^{x}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {e^{x+h}-e^{x}}{h}}=e^{x}\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=e^{x}

解析学においてはこの性質を満たす関数として指数関数を定義する。つまり、指数関数 $exp(x)$ とは、

を満たす関数のことである。この関数は代数的な定義で示される性質を満たし、両者は一致することが示される。

一般の指数関数 $a x$ の導関数は自然対数 $ln$ を用いて、合成関数の微分公式より、

{\frac {d}{dx}}a^{x}={\frac {d}{dx}}e^{x\ln a}={\frac {{d}(x\ln a)}{{d}x}}{\frac {{d}{e}^{x\ln a}}{{d}(x\ln a)}}=(\ln a)a^{x}

となる。 $a = e$ とすれば $ln e = 1$ なので最初の公式に戻る。

^ "Inverse Use of a Table of Logarithms; that is, given a logarithm, to find the number corresponding to it, (called its antilogarithm)…"^[2]
^ 英語で exponential function と the exponential function とを区別することがあるように、ドイツ語では一般の底に関する指数関数を exponentiellen Funktionen（指数の関数）、自然指数関数を Exponentialfunktion のように区別することもある。

^ MSDN の Exp 関数の解説
^ – p. 12 of Converse; Durrell (1911), Plane and spherical trigonometry, C.E. Merrill co.
^ ^a ^b John J O'Connor; Edmund F Robertson. “The number e”. School of Mathematics and Statistics. University of St Andrews, Scotland. 2011年6月13日閲覧。
^ ^a ^b Eli Maor, e: the Story of a Number, p.156.
^ Rudin, Walter (1987). Real and complex analysis (3rd ed.). New York: McGraw-Hill. p. 1. ISBN 978-0-07-054234-1