同値類 グラフによる表現

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同値類

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/10/11 05:23 UTC 版)

グラフによる表現

任意の二項関係は有向グラフによって，同値関係のような対称的なものは無向グラフによって表すことができる．∼ が集合 X 上の同値関係であるとき，グラフの頂点全体を X の元全体とし，s ∼ t のとき，かつそのときに限り頂点 s と t を結ぶ．同値類はこのグラフにおいてグラフの連結成分をなす極大クリークによって表される．

不変量

∼ が X 上の同値関係で P(x) が，x ∼ y であるときにはいつでも，P(y) が真ならば P(x) が真であるような，X の元の性質であるとき，性質 P は ∼ の不変量，あるいは関係 ∼ のもとで well-defined であるといわれる．

よくある場合は f が X から別の集合 Y への関数であるときに生じる；x₁ ∼ x₂ であるときにはいつでも f(x₁) = f(x₂) であるとき，f は ∼ に対する射，∼ の下での類不変量，あるいは単に ∼ の下の不変量といわれる．これは例えば有限群の指標理論において現れる．著者によっては「∼ の下で不変」の代わりに「∼ と両立する」あるいはただ「∼ に従う」を用いる．

任意の関数 f: X → Y はそれ自身，x₁ ∼ x₂ ⇔ f(x₁) = f(x₂) なる X 上の同値関係を定義する．x の同値類は f(x) に写される X の元全体の集合である，つまり，類 [x] は f(x) の逆像である．この同値関係は f の核として知られている．

より一般に，関数は（X 上の同値関係 ∼_X の下で）同値な引数を（Y 上の同値関係 ∼_Y の下で）同値な値に送ることがある．そのような関数は ∼_X から ∼_Y への射と呼ばれる．

位相空間論における商空間

位相空間論において商空間は、与えられた同値関係に関する同値類全体の成す集合上にもとの空間の位相から誘導される位相を入れて得られる位相空間である。

抽象代数学において代数系の台集合上で定義される合同関係は、その関係に関する同値類全体の成す集合上に商代数系と呼ばれる代数構造を誘導する。線型代数学における商空間は、加法群に関して商群をとることによって得られるベクトル空間で、その商写像は線型写像になる。用例を敷衍して、抽象代数学において商加群、商環、商群などの任意の商代数系のことを「商空間」と呼ぶことがあるが、より一般の場合においてもしばしば群作用の軌道とのアナロジーによって「商空間」の語を用いることがある。

適当な集合上に定義された群作用の軌道全体の成す空間は、その集合の群作用に関する商空間とも呼ばれる（特に群作用の軌道空間が作用群の部分群による（部分群によるもとの群への左移動作用から生じる）右剰余類集合、あるいは右移動による軌道としての左剰余類集合になっている場合）。

位相群の正規部分群がもとの群に移動作用で作用しているときの商空間は、位相空間の意味でも抽象代数学の意味でも群作用の意味でも同時に商空間になっている。

商空間という言葉を、更なる構造も含めたうえで、任意の同値関係による同値類集合に対して用いることはできるけれども、商空間と呼ぶ目的は一般に、集合 X 上の同値関係の種類をもとの X に入っているのと同じ種類の構造を同値類集合上に誘導する同値関係と、あるいは群作用の軌道空間と比較することである。同値関係で保たれる構造の意味でも、群作用に対する不変量の研究の意味でも、いずれも上で与えた同値類の不変量の定義が導かれる。