内積 例

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内積

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/06/24 22:16 UTC 版)

例

様々な空間に複数通りの内積が定義できる。一覧表で概要を、各節で詳細を説明する。

具体的な内積

ベクトル空間	内積関数	notes
ℝn	${\boldsymbol {x}}^{\top }{\boldsymbol {y}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}$	別名: 標準内積
	${\boldsymbol {x}}^{\top }A{\boldsymbol {y}}$	A は正定値対称行列 $\langle x,y\rangle _{A}$ とも表記
ℂn	${\bar {x}}^{\top }y=\sum _{i=1}^{n}{\bar {x}}_{i}y_{i}$
	${\bar {x}}^{\top }Hy$	H は正定値エルミート $\langle x,y\rangle _{H}$ とも表記
Sn×n	$\operatorname {Tr} (XY)$
L2(Ω)	$\int _{\Omega }f{\bar {g}}\,d\mu$

実n次元ベクトル空間 ℝⁿ

実 n-次元数ベクトル空間 ℝⁿ において、任意の二元 x = (x₁, x₂, …, x_n), y = (y₁, y₂, …, y_n) に対し、

$$\langle x,y\rangle :=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}$$

とすると、この ⟨,⟩ は（正定値な）内積の性質を満たす。これを、ℝⁿ の標準内積と呼ぶ。標準内積は ℝⁿ を n行1列の行列と同一視することで、転置⊤と行列積を用いて

$$\langle x,y\rangle =x^{\top }y$$

と表わせる。また、n 次の（正定値）対称行列 A を用いて

$$\langle x,y\rangle _{A}:=x^{\top }Ay$$

とおくと、これも（正定値）内積の性質を満たす。

複素n次元ベクトル空間 ℂⁿ

複素 n-次元数ベクトル空間 ℂⁿ において、任意の二元 x = (x₁, x₂, …, x_n), y = (y₁, y₂, …, y_n) に対し、

$$\langle x,y\rangle :=x^{\top }{\bar {y}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\bar {y}}_{i}$$

とすると、この ⟨,⟩ はエルミート内積の性質を満たす。また、n 次の（正定値）エルミート行列 H を用いて

$$\langle x,y\rangle _{A}:=x^{\top }H{\bar {y}}$$

とおくと、これも（正定値）エルミート内積の性質を満たす。

対称行列の空間 S^n×n

n 次対称行列の空間 S^n×n について、X, Y ∈ S^n×n に対して

$$\langle X,Y\rangle :=\operatorname {Tr} (XY)$$

と取ると、これは内積を与える。

L²空間 L²(Ω)

Ω をユークリッド空間の開集合とする。Ω 上の二乗可積分な関数全体の成す集合を関数がほとんど至る所等しい（測度零の集合上でとる値を除いて等しい）という同値関係で割って得られるルベーグ空間 L²(Ω) には、二乗可積分関数 f, g について

$$\langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }f(x){\overline {g(x)}}\,dx$$

と置いて、エルミート内積が定まる。より一般に、(Ω, F, μ) を測度空間とすると、L²(Ω, μ) の二元 f, g について

$$\langle f,g\rangle :=\int _{\Omega }f{\bar {g}}\,d\mu$$

と置いたものはエルミート内積の性質を満たす。