豊富な因子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/05/27 08:51 UTC 版)
「因子 (代数幾何学)」の記事における「豊富な因子」の解説
詳細は「豊富なラインバンドル」を参照 X を体 k 上固有な代数多様体とする。X 上の（カルティエ）因子 D は、射影空間への埋め込み F : X → P k N {\displaystyle F:X\to \mathbb {P} _{k}^{N}} および射影空間の超平面 H を使って D = F ∗ H {\displaystyle D=F^{*}H} と書かれるとき、非常に豊富 (very ample) であるという。 カルティエ因子 D は X の任意の2点 p , q に対して、E ∈ | D | であって、p ∈ E かつ q ∉ E となるものが存在する (点の分離) X の任意の点 p およびその点での 0 でない接ベクトル v（ザリスキ接空間の元）に対して、E ∈ | D | であって p ∈ E であるが E は v と接しない（E のザリスキ接空間が v を含まない）ものが存在する (接ベクトルの分離) の2条件を満たすとき、非常に豊富である。 ヴェイユ因子（あるいは、Q-ヴェイユ因子）D はその正整数倍 nD が非常に豊富になるとき、豊富 (ample) であるという。非常に豊富なカルティエ因子は、多様体 X の射影空間への埋め込みを考えることと同値で、非常に幾何学的な概念であり、ある因子が非常に豊富であるかどうかを判定する事は一般には難しい。しかし、豊富性はコホモロジー的あるいは、数値的な特徴づけを持つためより扱いやすく、本質的な概念である。例えば、 固有な代数多様体 X 上の可逆層 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} が豊富である（豊富なカルティエ因子に対応する可逆層である）ことの必要十分条件は、X 上の任意の連接層 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} に対して十分大きな自然数 n が存在して、i > 0 に対してコホモロジーの消滅 H i ( X , F ⊗ L ⊗ n ) = 0 {\displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {L}}^{\otimes n})=0} が成り立ことである（セールのコホモロジー的豊富性判定）。 更に、クライマンの数値的豊富性判定は豊富性の問題を因子と曲線（の極限でかける実数係数有効1サイクル）の交点数が正である事として特徴づける。このような数値的な特徴づけは、上記の非常に豊富な因子の特徴づけ （ 点の分離と接ベクトルの分離）に比べて扱いやすい。また、コンパクトケーラー多様体の上の直線束に対しては、その上にいたるところ正な曲率を持つエルミート計量が入るならば、この直線束は豊富である（小平埋め込み定理）。因子の豊富性はこのように、因子の何らかの 正値性（positivity）と関連付けてとらえる事が出来る（詳細は直線束の数値的性質などを参照）。 因子が非常に豊富である、あるいは豊富であるという概念は、任意のスキーム S 上固有なスキーム X 上の可逆層 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} に対して定義できる。すなわち、S 上の射影空間束への埋め込み F : X → P ( V ) {\displaystyle F:X\to \mathbb {P} ({\mathcal {V}})} によって L = F ∗ O P ( V ) ( 1 ) {\displaystyle {\mathcal {L}}=F^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ({\mathcal {V}})}(1)} と書かれるとき、 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} は S 上非常に豊富であるといい、可逆層の正整数の自己テンソル積 L ⊗ n {\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes n}} が S 上非常に豊富になるとき、 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} は S 上豊富であるという。セールのコホモロジー的豊富性判定は、コホモロジー群を構造射 f : X → S による高次順像 R i f ∗ ( F ⊗ L ⊗ n ) = 0 {\displaystyle R^{i}f_{*}({\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {L}}^{\otimes n})=0} で置き換えればそのまま成り立つ。
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