強制半順序

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強制半順序

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/15 06:35 UTC 版)

「強制法」の記事における「強制半順序」の解説

強制半順序は3つ組順序対 (P, ≤, 1) である。ここで "≤" はP上の前順序関係(広義の半順序)で、以下のsplitting condition（アトムの非存在性）を満たすもの。 任意の p ∈ Pに対して、s ≤ q, r となる s ∈ P が存在しないようなq, r ≤ p である q, r ∈ P が存在する。 1 は最大元である。すなわち、 全ての p ∈ P に対して p ≤ 1 P の要素は条件と呼ばれ、 p ≤ q を p は q より強い とよぶ。直観的には、これは"小さい"条件がより"多く"情報をもたらしているということである。区間[3.1415926,3.1415927]はπの値について、より広い区間[3.1,3.2]よりも多くの情報を与えている。 (ここで使われる条件は多様である。"≤"に反対称律を求める場合もあり、そのときはこの順序は狭義(広く使われている意味の)半順序である。最大要素の存在を仮定しないこともある。逆順序も利用された。これはシェラハとその共著者の研究でも知られている。) 強制半順序 P は P-名前と関連付けられる。P-名前は集合で、 {(u,p):u は P-名前 かつ p ∈ P} この定義は超限再帰によるものである。 Name(0) = {}; Name(α + 1) = (Name(α) × P)の冪集合の定義可能な部分集合; Name(λ) = ∪{Name(α) : α < λ} （ただし λ は極限順序数） と定義して P-名前全体のクラスを V(P) = ∪{Name(α) : α は順序数} と定義する。P-名前は宇宙の拡大の様子を表している。V の要素 x に対して xˇ はP-名前であり {(yˇ,1) : y ∈ x}. で定義する。これもやはり超限再帰による定義である。 P の部分集合 G に対して、解釈 とか 付値 というのは、名前に対する関数で val(u, G) = {val(v, G) : ∃ p ∈ G , (v, p) ∈ u}. と定義する(この定義も超限再帰による)。ここで、もし 1 が G の要素なら val(xˇ, G) = x. となる。 G = {(pˇ, p) : p ∈ G}, と定義すると、 val(G,G) = G. となる。強制半順序の良い例が (Bor(I) , ⊆ , I ), である。ここで I = [0,1] であり、Bor(I) は Iのボレル部分集合で非零ルベーグ測度を持つもの全体である。この場合、半順序の条件は確からしさを表していると説明され、Bor(I)-名前は所属関係を確率的な意味で割り当てる。この例でも得られている確率的言語の考えは他の強制半順序でも使われる。