多変数化
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/09 07:37 UTC 版)
詳細は「多変数正規分布」を参照 A = (αij) が正定値対称（従って可逆な）共変行列（二階共変テンソル）ならば ∫ − ∞ ∞ exp ( − 1 2 x ⊺ A x ) d n x = ∫ − ∞ ∞ exp ( − 1 2 ∑ i , j = 1 n α i j x i x j ) d n x = ( 2 π ) n det A {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {x}}^{\intercal }{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {x}}\right)\,d^{n}{\boldsymbol {x}}=\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}\alpha _{ij}x_{i}x_{j}\right)\,d^{n}{\boldsymbol {x}}={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det {\boldsymbol {A}}}}}} (2.1) が成り立つ。ここで積分は Rn 全体でとる。この事実は多変数正規分布の研究に応用される。 また、 ∫ x k 1 ⋯ x k 2 N exp ( − 1 2 x ⊺ A x ) d n x = ( 2 π ) n det A 1 2 N N ! ∑ σ ∈ S 2 N ( A − 1 ) k σ ( 1 ) k σ ( 2 ) ⋯ ( A − 1 ) k σ ( 2 N − 1 ) k σ ( 2 N ) {\displaystyle \int x^{k_{1}}\dotsb x^{k_{2N}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {x}}^{\intercal }{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {x}}\right)d^{n}{\boldsymbol {x}}={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det {\boldsymbol {A}}}}}\;{\frac {1}{2^{N}N!}}\sum _{\sigma \in S_{2N}}({\boldsymbol {A}}^{-1})^{k_{\sigma (1)}k_{\sigma (2)}}\dotsb ({\boldsymbol {A}}^{-1})^{k_{\sigma (2N-1)}k_{\sigma (2N)}}} (2.2) が成立する。ここで、σ は {1, ..., 2N} の置換であり、右辺に現れる余分な因子は A−1 の N 個のコピーを {1, ..., 2N} の組合せ対 (combinatorial pairing) の全体に亘って加えた和を意味する。 あるいはまた、A−1 = (βij) として ∫ f ( x ) exp ( − 1 2 x ⊺ A x ) d n x = ( 2 π ) n det A exp ( 1 2 ∇ ⊺ A − 1 ∇ ) f ( x ) | x = 0 = ( 2 π ) n det A exp ( 1 2 ∑ i , j = 1 n β i j ∂ 2 ∂ x i ∂ x j ) f ( x ) | x = 0 {\displaystyle \int f({\boldsymbol {x}})\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {x}}^{\intercal }{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {x}}\right)d^{n}{\boldsymbol {x}}={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det {\boldsymbol {A}}}}}\;\left.\exp \left({\frac {1}{2}}\nabla ^{\intercal }{\boldsymbol {A}}^{-1}\nabla \right)f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {0}}}={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det {\boldsymbol {A}}}}}\;\left.\exp \left({\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}\beta _{ij}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}\right)f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {0}}}} (2.3) がいくつかの解析関数 f に対して成立する。f は増加具合が適当に制限されているとかあるいはほかの技術的な判定条件を満足する必要がある。これは特定の関数に対してはうまく行くがそうでないものもある。たとえば多項式ならば成立する。また微分作用素変数の指数関数 exp は冪級数として理解され、あらたな微分作用素を定めるものである。 さらに無限次元への一般化としての汎関数積分には厳密な定義は無く、多くの場合それは計算的でさえないが、ガウス汎関数積分を有限次元の場合の類似物として「定義」することができる。もちろん問題はあって、単純に有限次元の場合の式を無限次元の場合に適用しようとすれば (2π)∞ は無限大に発散してしまうし、汎函数行列式 (functional determinant) も一般には無限大となりうる。これらのことを考慮して比 ∫ f ( x 1 ) ⋯ f ( x 2 N ) exp ( − 1 2 ∬ A ( x 2 N + 1 , x 2 N + 2 ) f ( x 2 N + 1 ) f ( x 2 N + 2 ) d x 2 N + 1 d x 2 N + 2 ) D f ∫ exp ( − 1 2 ∬ A ( x 2 N + 1 , x 2 N + 2 ) f ( x 2 N + 1 ) f ( x 2 N + 2 ) d x 2 N + 1 d x 2 N + 2 ) D f = 1 2 N N ! ∑ σ ∈ S 2 N A − 1 ( x σ ( 1 ) , x σ ( 2 ) ) ⋯ A − 1 ( x σ ( 2 N − 1 ) , x σ ( 2 N ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\displaystyle \int f(x_{1})\dotsb f(x_{2N})\exp \left(-{\dfrac {1}{2}}\displaystyle \iint {\boldsymbol {A}}(x_{2N+1},x_{2N+2})f(x_{2N+1})f(x_{2N+2})\,dx_{2N+1}\,dx_{2N+2}\right){\mathcal {D}}f}{\displaystyle \int \exp \left(-{\dfrac {1}{2}}\displaystyle \iint {\boldsymbol {A}}(x_{2N+1},x_{2N+2})f(x_{2N+1})f(x_{2N+2})\,dx_{2N+1}\,dx_{2N+2}\right){\mathcal {D}}f}}\\[5pt]&={\frac {1}{2^{N}N!}}\sum _{\sigma \in S_{2N}}{\boldsymbol {A}}^{-1}(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)})\dotsb {\boldsymbol {A}}^{-1}(x_{\sigma (2N-1)},x_{\sigma (2N)})\end{aligned}}} (2.4) のみを考えることにするならばガウス汎関数積分を扱うことができるという意味である。ドヴィット記法 (deWitt notation) を使えば、この等式は有限次元の場合と同じ形に書くことができる。
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