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ガウス積分

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/05/26 10:16 UTC 版)

ガウス積分（ガウスせきぶん、英: Gaussian integral）あるいはオイラー＝ポアソン積分（オイラーポアソンせきぶん、英: Euler–Poisson integral^[1]）はガウス関数 $exp(- x 2)$ の実数全体での広義積分：

^ 式 1.1 は積分変数を $ξ = (x + b)/ c$ に置き換えれば $dx = c dξ$ より上述のガウス積分の結果が利用できる。式 1.2 も指数の中身を平方完成すれば 式 1.1 と同様にして右辺の結果を得られることが確かめられる。
^ 式 2.1 は $A$ が対角行列であれば一変数の場合と同様にして右辺を得られる（ただし積分が収束するために $A$ の成分はすべて正、つまり $A$ が正定値行列であることが要求される）。非対角項がゼロでない場合、 $A$ が実対称行列であるため、積分変数 $x$ を適当な直交行列 $O$ を用いて変数変換することで行列 $A$ を対角化できる。対角化した後の計算は対角行列の場合と同様。