多変数関数のテイラー展開
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/14 15:34 UTC 版)
「テイラー展開」の記事における「多変数関数のテイラー展開」の解説
テイラー展開は一変数関数のみならず、多変数関数にも適用できる。d 変数関数 f のテイラー展開は以下の式である。 f ( x 1 , … , x d ) = ∑ n 1 = 0 ∞ ∑ n 2 = 0 ∞ ⋯ ∑ n d = 0 ∞ ( x 1 − a 1 ) n 1 ⋯ ( x d − a d ) n d n 1 ! ⋯ n d ! ( ∂ n 1 + ⋯ + n d f ∂ x 1 n 1 ⋯ ∂ x d n d ) ( a 1 , … , a d ) . {\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{d})=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\sum _{n_{2}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}\,\left({\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}f}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}\right)(a_{1},\dots ,a_{d}).\!} 多重指数記法を用いれば、d 変数関数 f (x) のテイラー展開は次式で表現される。 f ( x ) = ∑ α ∈ N 0 d ( x − a ) α α ! ( ∂ α f ) ( a ) {\displaystyle f(\mathbf {x} )=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{d}}^{}{\frac {(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha }}{\alpha !}}\,({\mathrm {\partial } ^{\alpha }}\,f)(\mathbf {a} )} アインシュタインの縮約記法を用いれば、多変数関数 f (xμ) のテイラー展開は次式である。 f ( x μ ) = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! [ ( x μ − α μ ) ∂ μ ] n f ( α μ ) {\displaystyle f(x^{\mu })=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left[(x^{\mu }-\alpha ^{\mu })\partial _{\mu }\right]^{n}f(\alpha ^{\mu })} 上式の ∂μ は微分演算子であり、ベクトル解析の記法では ∇ に置き換えられる。一番後ろに f (αμ) があるが、これは f (xμ) に左の演算子を作用させてから f (xμ) の引数として αμ を与えることを表していることに注意する。
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