微分積分学 における商の法則 (しょうのほうそく、英 : quotient rule )は二つの可微分函数 の比(商)となっている函数 の導函数 の計算を述べるものである[1] [2] [3] 。
主張 具体的に g, h はともに可微分で h (x ) ≠ 0 として f (x ) = g (x )/h (x ) と書けば、この商 f の微分は
f ′ ( x ) = g ′ ( x ) h ( x ) − g ( x ) h ′ ( x ) [ h ( x ) ] 2 {\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}} で与えられる。
陰函数微分 による証明 — f (x ) = g (x )/h (x ) ならば g (x ) = f (x )h (x ) であるから、積の法則 により g ′ ( x ) = f ′ ( x ) h ( x ) + f ( x ) h ′ ( x ) {\textstyle g'(x)=f'(x)h(x)+f(x)h'(x)} となり、f′ について解けば
f ′ ( x ) = g ′ ( x ) − f ( x ) h ′ ( x ) h ( x ) = g ′ ( x ) − g ( x ) h ( x ) ⋅ h ′ ( x ) h ( x ) = g ′ ( x ) h ( x ) − g ( x ) h ′ ( x ) h ( x ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {g'(x)-f(x)h'(x)}{h(x)}}\\&={\frac {g'(x)-{\frac {g(x)}{h(x)}}\cdot h'(x)}{h(x)}}\\&={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}}\end{aligned}}} を得る。
連鎖律 による証明 — f (x ) = g (x )/h (x ) = g (x )⋅h (x )−1 と見れば、積の法則により f ′ ( x ) = g ′ ( x ) h ( x ) − 1 + g ( x ) ( h ( x ) − 1 ) ′ {\textstyle f'(x)=g'(x)h(x)^{-1}+g(x)\color {green}(h(x)^{-1})'} であり、右辺第二項の微分は連鎖律 のもとで冪の微分法則(英語版 ) を用いれば、結局
f ′ ( x ) = g ′ ( x ) h ( x ) − 1 + g ( x ) ⋅ ( − 1 ) h ( x ) − 2 h ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)=g'(x)h(x)^{-1}+g(x)\cdot \color {green}(-1)h(x)^{-2}h'(x)} を得る。整理すれば
f ′ ( x ) = g ′ ( x ) h ( x ) − g ( x ) h ′ ( x ) h ( x ) 2 = g ′ ( x ) h ( x ) − g ( x ) h ′ ( x ) h ( x ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {g'(x)}{h(x)}}-{\frac {g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}}\\&={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^{2}}}\end{aligned}}} となる。
例 f (x ) ≔ tan(x ) = sin(x )/cos(x ) の導函数を求めるのに商の法則が利用できる: d d x tan x = d d x sin x cos x = ( d d x sin x ) ( cos x ) − ( sin x ) ( d d x cos x ) cos 2 x = cos 2 x + sin 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x = sec 2 x . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\tan x&={\frac {d}{dx}}{\frac {\sin x}{\cos x}}\\&={\frac {({\frac {d}{dx}}\sin x)(\cos x)-(\sin x)({\frac {d}{dx}}\cos x)}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x.\end{aligned}}} 高階版 陰函数微分を用いれば、商の n -階微分も((n −1 )-階までの導函数を用いて)計算することができる。例えば、f⋅h = g を両辺二回微分して f″ について解けば
f ″ = ( g h ) ″ = g ″ − 2 f ′ h ′ − f h ″ h {\displaystyle f''=\left({\frac {g}{h}}\right)''={\frac {g''-2f'h'-fh''}{h}}} を得る。
関連項目 参考文献