算術幾何数列とは - わかりやすく解説 Weblio辞書

算術幾何数列

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/07/03 16:17 UTC 版)

数学における算術幾何数列（さんじゅつきかすうれつ、仏: suite arithmético-géométrique; 英: arithmetico–geometric sequence）は、一次の漸化式を満足する数列で、算術数列および幾何数列をともに一般化する^{[注釈 1]}。

注

注釈

^ 定義により、算術級数は一次の係数が $1$ の、幾何級数は定数項が $0$ の一次漸化式をそれぞれ持つのであった。

出典

^ Суконник Я. Н. Арифметико-геометрическая прогрессия // Квант. — 1975. — № 1. — С. 36—39.
^ J'intègre de Deschamps et Warusfel, tome 1, p. 127.^{[要文献特定詳細情報]}
^ J.-P. Ramis および A. Warusfel (dir.), Mathématiques : Tout-en-un pour la Licence – niveau 1, Dunod, coll. « Sciences Sup »,‎ 2013, 2^e éd. (1^re éd. 2006) (lire en ligne), p. 534.

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等差×等比数列

(算術幾何数列から転送)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/06 02:16 UTC 版)

数学において、算術数列と幾何数列の項ごとの積によって与えられる、算術–幾何数列 (arithmetico–geometric sequence) は、象徴的に「算術⋅幾何数列」とか「(等差)×(等比)-型の数列」などのようにも呼ばれる。より平易に述べれば、一つの算術×幾何数列の第 $n$ -項は、適当な算術数列の第 $n$ -項と幾何級数の第 $n$ -項の積で与えられる。算術幾何数列は、確率論における期待値の計算など様々な応用において生じる。例えば数列

{\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}},\ {\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}},\ {\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}},\ {\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}},\ {\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}},\ {\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}},\dotsc

は分子 (青) が算術数列を成す成分、分母 (緑) が幾何数列を成す成分となっている算術幾何数列である。

注釈

^ 例えば線形回帰数列の一種で $u_{n+1}=au_{n}+b$ なる漸化式を満足する数列は、算術数列 ( $a = 1$ ) および幾何数列 ( $b = 0$ ) を共に一般化する。
^ 後者の場合で $a = d = 0$ ならばすべての項が零だから、級数は定数になる

参考文献

^ ^a ^b ^c K. F. Riley; M. P. Hobson; S. J. Bence (2010). Mathematical methods for physics and engineering (3rd ed.). Cambridge University Press. p. 118. ISBN 978-0-521-86153-3