移動平均 指数移動平均

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移動平均

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/13 08:09 UTC 版)

指数移動平均

EMA の重み付け N=15 の場合

指数移動平均(英: Exponential Moving Average; EMA) では、指数関数的に重みを減少させる。指数加重移動平均 (英: Exponentially Weighted Moving Average; EWMA)、指数平滑移動平均 (英: Exponentially Smoothed Moving Average) とも呼ばれる。重みは指数関数的に減少するので、最近のデータを重視するとともに古いデータを完全には切り捨てない（重みは完全にゼロにはならない）。右図は、重みの減少する様子を表したものである。なお、EMA は移動平均とは呼べないとする立場もあり、その場合は指数平滑平均 (英: Exponential Average) と呼ぶ。

重みの減少度合いは平滑化係数と呼ばれる 0 と 1 との間の値をとる定数 α で決定される。α は百分率で表現されることもあり、平滑化係数が 10% というのは α=0.1 と同じことを表している。αを時系列区間 N で表すこともあり、その場合は $\alpha ={2 \over {N+1}}$ となる。例えば、N=19 なら α=0.1 となる。重みの半減期（重みが0.5以下となる期間）は、約 N/2.8854 である（N＞5 のとき1％の精度で）。

時系列上のある時点 t の値を Y_t で表し、ある時点 t での EMA を S_t で表す。S₁ は定義しない。S₂ の値をどう設定するかにはいくつかの手法があり、S₂ の値を Y₁ とすることが多いが、S₂ を時系列上の最初の4つか5つのデータの平均とすることもある。α が小さい場合、S₂ をどう設定するかは比較的重要であるが、αが大きい場合は（古い値の重みが小さくなるので）重要ではない。

t≧3 の場合の EMA の計算式は次のとおりである。

$S_{t}=\alpha \times Y_{t-1}+(1-\alpha )\times S_{t-1}$

この計算式は Hunter (1986)によるものである。各データの重みは、$\alpha (1-\alpha )^{x}Y_{t-(x+1)}$ になる。Roberts (1959) では Y_t-1 の代わりに Y_t を使っていた。

この式をテクニカル分析の用語を使って表すと次のようになる。用語が異なるだけで同じ式である

${\text{EMA}}_{\mathrm {today} }={\text{EMA}}_{\mathrm {yesterday} }+\alpha \times ({\text{price}}_{\mathrm {today} }-{\text{EMA}}_{\mathrm {yesterday} })$

この式で ${\text{EMA}}_{\mathrm {yesterday} }$ を展開すると次式のようなべき級数となり、各時点の価格 p₁, p₂, …… が指数関数的に重み付けされている。

${\text{EMA}}_{M}=\alpha \times \left(p_{M}+(1-\alpha )p_{M-1}+(1-\alpha )^{2}p_{M-2}+\cdots \right)$

理論上これは総和であるが、1-α が 1より小さいので、項はどんどん小さくなって、ある項から先は無視できる大きさになる。

N 日間の EMA といった場合の N は単に係数αを示すに過ぎず、実際の計算は N 日間のデータだけでは済まない。ただし、直近の N 日間のデータが EMA において 86 ％の重みをもつ。証明：

${{\alpha \times \left(1+(1-\alpha )+(1-\alpha )^{2}+\cdots +(1-\alpha )^{N}\right)} \over {\alpha \times \left(1+(1-\alpha )+(1-\alpha )^{2}+\cdots +(1-\alpha )^{\infty }\right)}}=1-{\left(1-{2 \over N+1}\right)}^{N+1}$

（左辺の分母は1であり、分子の等比数列の和が右辺の形になる。）この極限値は、

$\lim _{N\to \infty }\left[1-\left(1-{2 \over N+1}\right)^{N+1}\right]$ = 1-e^-2 ≒ 0.8647

になる（e はネイピア数）。

実際には、上のべき級数の式を使って最初のある日までの EMA を計算し、その翌日以降は最初のほうで示した式を使えばよい。

初期値の問題に戻る。古いデータに極めて大きな値があった場合、たとえその重みが小さくても全体には大きな影響を与える。そういう場合には、価格変動がそれほど大きくないと仮定できるなら、重みだけを考慮してある項目数 k までで計算を打ち切ればよい。このとき、省略される項の重みは

  $\alpha \times \left((1-\alpha )^{k}+(1-\alpha )^{k+1}+(1-\alpha )^{k+2}+\cdots \right)$

$=\alpha \times (1-\alpha )^{k}\times \left(1+(1-\alpha )+(1-\alpha )^{2}+\cdots \right)$

$=(1-\alpha )^{k}$

となる。すなわち、全体の重み 1 に対して $(1-\alpha )^{k}$ に相当する部分が省略されることになる。

例えば、99.9 ％の重み（精度）で計算したい場合には、計算する項目数を $k={\log(0.001) \over \log(1-\alpha )}$ とすればよい。$\log \,(1-\alpha )$ は N が増えるに従って $-\alpha ={-2 \over {N+1}}$ に近づいていくから、N が大きいときは $k=3.45(N+1)$ とすればほぼ 99.9% の精度となる。

なお、$\alpha ={2 \over {N+1}}$ ではなく $\alpha ={1 \over {N}}$ とする EMA もある（次節）。

修正移動平均

修正移動平均 (Modified Moving Average; MMA) は、Running Moving Average (RMA)、平滑移動平均 (Smoothed Moving Average) などと呼ばれる。

定義は次式による。

${\text{MMA}}_{\mathrm {today} }={(N-1)\times {\text{MMA}}_{\mathrm {yesterday} }+{\text{price}} \over {N}}$

要するに、$\alpha ={1 \over {N}}$ とした指数移動平均である。