概型 - OX 加群 - わかりやすく解説 Weblio辞書

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概型

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/26 20:45 UTC 版)

$O X$ 加群

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詳細は「加群の層」を参照

可換環 $R$ を研究するときに可換環論において $R$ 加群が中心的なのと同様に、構造層 $O X$ を持つスキーム $X$ の研究において $O X$ 加群が中心的である。（ $O X$ 加群の定義については局所環付き空間を参照。） $O X$ 加群の圏はアーベル圏である。特に重要なのは $X$ 上の連接層であり、これは $X$ のアフィン部分上の有限生成な（通常の）加群から生じるものである。 $X$ 上の連接層の圏もまたアーベル圏である。

スキーム $X$ の構造層 $O X$ の切断は正則函数と呼ばれ、これは $X$ の各開集合 $U$ 上で定義される。 $O X$ の可逆部分層は、 $O * X$ と書かれるが、乗法について可逆な正則関数の芽のみからなる。ほとんどの場合、層 $K_{X}$ は $X$ のアフィン開集合 $Spec(A)$ 上で $A$ の全商環 $Q(A)$ を対応させることで得られる。（しかし、定義がより込み入っている場合もある。）^[36] $K_{X}$ の切断を $X$ の有理函数(rational function)と呼ぶ。その可逆な部分層を $K_{X}^{*}$ と書く。この可逆層の同型類全体 $Pic(X)$ は、テンソル積によりアーベル群となり、ピカール群と呼ばれ、 $H^{1}(X,\mathbb {O} _{X}^{*})$ に同型である。射影スキームの場合、大域切断が定数しかないが、この場合も $X$ を覆う各々の開集合上の断面を正則函数と言う。

脚注

注釈

^ Schappacher (2007, p. 10) によれば、ザリスキーは1938年から自分流の代数幾何学の基礎を考え始めている。
^ ただし、Chevalley (1955) や Nagata (1956) でこの講演が参考文献としてあげられているわけではない。また Chevalley (1955) で考察されているのは体上の代数幾何学だけである。
^ $K$ の $k$ 上の自己同型群の意と思われる。
^ グロタンディークは永田の論文を知っていた。Dieudonné (1989, p. 305) 参照。
^ アンドレ・マルティノー（英語版）のことと思われる。