概型 スキームの圏

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概型

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/26 20:45 UTC 版)

スキームの圏

局所環付き空間の射を射とすると、スキームは圏をなす。

スキームからアフィンスキームへの射は、次の反変な随伴函手により、環準同型のことばで完全に理解される。全てのスキーム X と全ての可換環 A に対して、自然な同値関係

$\operatorname {Hom} _{\rm {Schemes}}(X,\operatorname {Spec} (A))\cong \operatorname {Hom} _{\rm {CRing}}(A,{\mathcal {O}}_{X}(X))$

が成り立つ。

Z は環の圏の始対象であり、スキームの圏は Spec(Z) を終対象として持っている。

スキームの圏は有限の積を持っているが、注意して扱わねばならない。(X, O_X) と (Y, O_Y) の積スキームの基礎となる位相空間は、位相空間 X と Y の積にいつも等しいとは言えない。実際、積スキームの基礎となる位相空間は、位相空間の積よりも多くの点を持っている。例えば、K を 9つの元からなる体とすると、Spec K × Spec K ≈ Spec (K ⊗_Z K) ≈ Spec (K ⊗_Z/3Z K) ≈ Spec (K × K) であり、K はたった一つの要素しか持っていないが、Spec K × Spec K は 2つの要素を持っている。

スキーム $S$ に対し、$S$ 上のスキームの圏もファイバー積の構造を持ち、ファイバー積は終対象 $S$ を持つので、このことから有限な極限を持つ。