有限群 有限群の例

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有限群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/05/09 09:19 UTC 版)

有限群の例

置換群

対称群 $S_{N}$ は、N個の文字の置換全ての集合を表す。 この様な置換はN!個存在するので、N!が対称群の位数である。ケーリーの定理によれば、任意の有限群は適当なNについて対称群$S_{N}$の部分群として実現できる。交代群は、偶置換のみを集めた部分群であり、$A_{N}$と表記される。

巡回群

巡回群$Z_{N}$は、任意の元がある特定の元aのべき乗であり、$a^{n}=a^{0}=e$(eは単位元)が成り立っているような群である。巡回群の典型的な例は1の冪根の群である。aを1の原始冪根に対応させる写像は$Z_{N}$と1の冪根の群の間の同型写像である。この対応関係は任意の巡回群に対して成り立つ。