平坦加群平坦加群の概要

定義

$A$ を環、 $M$ を右 $A$ 加群とする。 $A$ 加群からなる任意の短完全系列

0\to N_{1}\to N_{2}\to N_{3}\to 0

に対して、 $M$ とのテンソル積をとった系列

0\to M\otimes _{A}N_{1}\to M\otimes _{A}N_{2}\to M\otimes _{A}N_{3}\to 0

が完全になるとき、 $M$ は $A$ 上平坦である、または $M$ は平坦 $A$ 加群であるという。 $M$ が左 $A$ 加群のときも同様に定義される。

なお一般の加群 $M$ に対しては、関手 $M \otimes A -$ は右完全ゆえ

M\otimes _{A}N_{1}\to M\otimes _{A}N_{2}\to M\otimes _{A}N_{3}\to 0

は完全系列となるが、左端の射が一般には単射にならない。

$A$ 代数 $B$ が平坦であるとは、 $B$ が $A$ 加群として平坦であることをいう。

射影加群は平坦である。特に自由加群も平坦である。
（推移性） $B$ が平坦 $A$ 代数で、 $M$ が平坦 $B$ 加群ならば、 $M$ は $A$ 加群としても平坦である。
（係数拡大） $A$ 加群 $M$ が平坦ならば、任意の $A$ 代数 $B$ に対し、 $B$ 加群 $M \otimes A B$ も平坦である。
$A S$ を環 $A$ の積閉集合 $S$ による局所化とすると、 $A S$ は $A$ 上平坦である。
（局所性）上より、 $A$ の任意の素イデアル $p$ に対し、 $M p = M \otimes A A p$ は平坦な $A p$ 加群となる。逆に、任意の $p$ に対し $M p$ が $A p$ 上平坦ならば、 $M$ は $A$ 上平坦である。
$I$ を $A$ の自明でないイデアルとすると、 $A / I$ が $A S$ の形に書ける場合を除き、 $A$ 加群 $A / I$ は平坦でない。
$A$ 加群 $M$ が平坦であることと、任意の $A$ 加群 $N$ に対し $Tor A 1 (M, N) = 0$ となることとは同値である。

^ ただし、彼はなぜ平坦（flat）という語を用いたか覚えていないと言っている。“Why are flat morphisms “flat?””. 2015年9月28日閲覧。
^ Weibel 1994, Lemma 4.1.10.

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