射影多様体

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/14 15:32 UTC 版)

滑らかな射影多様体

$X$ を滑らかな射影多様体ですべての既約成分が $n$ 次元であるものとする。この状況において、標準層 $ω X$ は、top degree のケーラー微分（すなわち代数的 $n$ 形式）の層として定義され、直線束である。

セール双対性

セール双対性は、 $X$ 上の任意の局所自由層 ${\mathcal {F}}$ に対して

H^{i}(X,{\mathcal {F}})\simeq H^{n-i}(X,{\mathcal {F}}^{\vee }\otimes \omega _{X})'

というものである、ただしプライムは双対空間を意味し、 ${\mathcal {F}}^{\vee }$ は ${\mathcal {F}}$ の双対層である。滑らかとは限らない射影スキームへの一般化はヴェルディエ双対性（英語版）として知られている。

リーマン・ロッホの定理

（滑らかな射影）曲線 $X$ に対し、 $H 2$ および高次は次元の理由のため消え、構造層の大域切断の空間は 1 次元である。したがって $X$ の数論的種数は $H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ の次元である。定義により、 $X$ の幾何学的種数（英語版）は $H 0 (X, ω X)$ の次元である。セール双対性はしたがって数論的種数と幾何学的種数が一致することを意味する。それらは単に $X$ の種数と呼ばれる。

セール双対性はリーマン・ロッホの定理の証明の重要な要素でもある。 $X$ は滑らかだから、（ヴェイユ）因子（英語版）を主因子で割った群から直線束の同型類の群への群同型

\operatorname {Cl} (X)\to \operatorname {Pic} (X),D\mapsto {\mathcal {O}}(D)

が存在する。 $ω X$ に対応する因子は標準因子と呼ばれ、 $K$ と書かれる。 $l (D)$ を $H^{0}(X,{\mathcal {O}}(D))$ の次元とする。するとリーマン・ロッホの定理の主張は以下のようである。 $g$ が $X$ の種数のとき、

l(D)-l(K-D)=\operatorname {deg} D+1-g

が $X$ 上の任意の因子 $D$ に対して成り立つ。セール双対性により、これは

\chi ({\mathcal {O}}(D))=\operatorname {deg} D+1-g

と言っても同じであり、直ちに証明できる^[22]。リーマン・ロッホの定理の高次元への一般化はヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理や遠大なグロタンディーク・リーマン・ロッホの定理（英語版）である。

脚注

注

^ この斉次イデアルは $I$ の斉次化と呼ばれることがある。
^ この定義は Eisenbud–Harris 2000, III.2.3 とは異なるが、ウィキペディアの他の記事と整合的である。
^ cf. the proof of Hartshorne 1977, Ch II, Theorem 7.1
^ これは難しくない(Hartshorne 1977, Ch III. Lemma 2.10)： ${\mathcal {F}}$ の脆弱分解（英語版）とその射影空間全体への零拡張を考える。
^ To make the construction work, one needs to allow for a non-variety.

出典

^ Kollár & Moduli, Ch. I.
^ Shafarevich, Igor R. (1994), Basic Algebraic Geometry 1: Varieties in Projective Space, Springer
^ Mumford 1999, p. 82.
^ Hartshorne 1977, Section II.5.
^ Mumford 1999, p. 111.
^ Grothendieck & Dieudonné 1961, 5.6.
^ Hartshorne 1977, Ch II. Exercise 4.5.
^ Humphreys, James (1981), Linear algebraic groups, Springer , Theorem 21.3.
^ Hartshorne, Ch. V, Exercise 3.4. (e)..
^ Fulton 1998, Proposition 8.4..
^ Hartshorne, Ch. II, Exercise 5.14. (a).
^ Rosen, Michael (2002), Number theory in Function Fields, Springer
^ Hartshorne, 1977 & Ch IV, Exercise 1.7.
^ Hartshorne 1977, Ch I, Exercise 2.8; その理由は、{{Pⁿ}} の斉次座標環は一意分解整域であって、そのような環では高さ 1 の任意の素イデアルは単項イデアルだからである。
^ Shafarevich 1994, Ch. I. § 4.4. Example 1..
^ Mumford, Ch. II, § 7. Proposition 6..
^ Hartshorne, Ch. I, Exercise 4.9..
^ Hartshorne 1977, Ch II, Theorem 7.1.
^ Hartshorne 1977, Ch II, Proposition 7.2.
^ Hartshorne 1977, Ch III. Theorem 5.2.
^ Hartshorne 1977, Ch III. Exercise 5.2.
^ Hartshorne 1977, Ch IV. Theorem 1.3.
^ Kollár 1996, Ch. I 1.4.
^ Eisenbud & Harris 2000, VI 2.2
^ Hartshorne 1977, Appendix B. Theorem 3.4..
^ Griffiths-Adams, IV. 1. 10. Corollary H.
^ Griffiths-Adams, IV. 1. 10. Corollary I.
^ Hartshorne 1977, Appendix B. Theorem 2.1.
^ Mumford 1970, p. 36.
^ Hartshorne 1977, Ch III. Remark 7.15..
^ Esnault, Hélène; Viehweg, Eckart (1992), Lectures on vanishing theorems, Birkhäuser
^ Dolgachev, Igor (1982), “Weighted projective varieties”, Group actions and vector fields (Vancouver, B.C., 1981), Lecture Notes in Math., 956, Berlin: Springer, pp. 34–71, doi:10.1007/BFb0101508, MR 0704986

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