射影多様体

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/14 15:32 UTC 版)

連接層のコホモロジー

詳細は「連接層」を参照

$X$ を体（あるいはより一般にネーター環 $A$ ）上の射影スキームとする。 $X$ 上の連接層 ${\mathcal {F}}$ のコホモロジー（英語版）はセールによる以下の重要な定理を満たす。

$H^{p}(X,{\mathcal {F}})$ は任意の $p$ に対して有限次元 $k$ ベクトル空間である。
次のような整数 $n 0$ （ ${\mathcal {F}}$ に依存する；Castelnuovo–Mumford 正則性（英語版）も参照）が存在する：

H^{p}(X,{\mathcal {F}}(n))=0

for all

n\geq n_{0}

and p > 0, where

{\mathcal {F}}(n)={\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {O}}(n)

is the twisting with a power of a very ample line bundle

{\mathcal {O}}(1)

これらの結果は、同型

H^{p}(X,{\mathcal {F}})=H^{p}(\mathbf {P} ^{r},{\mathcal {F}}),p\geq 0

を用いて $X=\mathbf {P} ^{n}$ の場合に帰着することで示される。ここで右辺の ${\mathcal {F}}$ は零拡張によって射影空間上の層と見る^{[注 4]}。すると結果は任意の整数 $n$ に対する ${\mathcal {F}}={\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{r}}(n)$ に対する直接計算から従い、任意の ${\mathcal {F}}$ に対しては大して難しくなくこの場合に帰着される^[20]。

上の 1 の系として、 $f$ がネータースキームからネーター環への射影射ならば、高次順像 $R^{p}f_{*}{\mathcal {F}}$ は coherent である。同じ結果は固有射 $f$ に対しても成り立ち、チャウの補題の助けを借りて示すことができる。

ネーター位相空間上の層コホモロジー群 $H i$ は空間の次元よりも真に大きい $i$ に対して消える。したがって、 ${\mathcal {F}}$ のオイラー標数と呼ばれる量

\chi ({\mathcal {F}})=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\operatorname {dim} H^{i}(X,{\mathcal {F}})

は（射影的な $X$ に対して）well-defined な整数である。すると、 $\chi ({\mathcal {F}}(n))=P(n)$ がある有理数体上の多項式 $P$ に対して成り立つことを示すことができる^[21]。この手続きを構造層 ${\mathcal {O}}_{X}$ に適用して、 $X$ のヒルベルト多項式が復元される。特に、 $X$ が既約で次元が $r$ ならば、 $X$ の数論的種数は

(-1)^{r}(\chi ({\mathcal {O}}_{X})-1)

で与えられ、これは明らかに内在的、すなわち埋め込みに依らない。

次数 $d$ の超曲面の数論的種数は $\mathbf {P} ^{n}$ において ${\binom {d-1}{n}}$ である。特に、 $P 2$ 内の次数 $d$ の滑らかな曲線の数論的種数は $(d - 1)(d - 2)/2$ である。これが種数公式（英語版）である。

脚注

注

^ この斉次イデアルは $I$ の斉次化と呼ばれることがある。
^ この定義は Eisenbud–Harris 2000, III.2.3 とは異なるが、ウィキペディアの他の記事と整合的である。
^ cf. the proof of Hartshorne 1977, Ch II, Theorem 7.1
^ これは難しくない(Hartshorne 1977, Ch III. Lemma 2.10)： ${\mathcal {F}}$ の脆弱分解（英語版）とその射影空間全体への零拡張を考える。
^ To make the construction work, one needs to allow for a non-variety.

出典

^ Kollár & Moduli, Ch. I.
^ Shafarevich, Igor R. (1994), Basic Algebraic Geometry 1: Varieties in Projective Space, Springer
^ Mumford 1999, p. 82.
^ Hartshorne 1977, Section II.5.
^ Mumford 1999, p. 111.
^ Grothendieck & Dieudonné 1961, 5.6.
^ Hartshorne 1977, Ch II. Exercise 4.5.
^ Humphreys, James (1981), Linear algebraic groups, Springer , Theorem 21.3.
^ Hartshorne, Ch. V, Exercise 3.4. (e)..
^ Fulton 1998, Proposition 8.4..
^ Hartshorne, Ch. II, Exercise 5.14. (a).
^ Rosen, Michael (2002), Number theory in Function Fields, Springer
^ Hartshorne, 1977 & Ch IV, Exercise 1.7.
^ Hartshorne 1977, Ch I, Exercise 2.8; その理由は、{{Pⁿ}} の斉次座標環は一意分解整域であって、そのような環では高さ 1 の任意の素イデアルは単項イデアルだからである。
^ Shafarevich 1994, Ch. I. § 4.4. Example 1..
^ Mumford, Ch. II, § 7. Proposition 6..
^ Hartshorne, Ch. I, Exercise 4.9..
^ Hartshorne 1977, Ch II, Theorem 7.1.
^ Hartshorne 1977, Ch II, Proposition 7.2.
^ Hartshorne 1977, Ch III. Theorem 5.2.
^ Hartshorne 1977, Ch III. Exercise 5.2.
^ Hartshorne 1977, Ch IV. Theorem 1.3.
^ Kollár 1996, Ch. I 1.4.
^ Eisenbud & Harris 2000, VI 2.2
^ Hartshorne 1977, Appendix B. Theorem 3.4..
^ Griffiths-Adams, IV. 1. 10. Corollary H.
^ Griffiths-Adams, IV. 1. 10. Corollary I.
^ Hartshorne 1977, Appendix B. Theorem 2.1.
^ Mumford 1970, p. 36.
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^ Esnault, Hélène; Viehweg, Eckart (1992), Lectures on vanishing theorems, Birkhäuser
^ Dolgachev, Igor (1982), “Weighted projective varieties”, Group actions and vector fields (Vancouver, B.C., 1981), Lecture Notes in Math., 956, Berlin: Springer, pp. 34–71, doi:10.1007/BFb0101508, MR 0704986