射影多様体
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/03/14 15:32 UTC 版)
完備多様体との関係
定義により、多様体が完備であるとは、k 上固有であるときをいう。The valuative criterion of properness expresses the intuition that in a proper variety, there are no points "missing".
完備多様体と射影多様体の間には密接な関係がある:一方には、射影空間はしたがって任意の射影多様体は完備である。逆は一般には正しくない。しかしながら:
- 滑らかな曲線 C が射影的であることと完備であることは同値である。これは C を k 上の関数体 k(C) の離散付値環の集合たちと同一視することによって証明される。この集合はザリスキー–リーマン空間と呼ばれる自然なザリスキー位相を持つ。
- チャウの補題は、任意の完備多様体 X に対し、射影多様体 Z と双有理射 Z → X が存在すると述べている[6]。(さらに、正規化により、この射影多様体は正規とできる。)
射影多様体のいくつかの性質は完備性から従う。例えば、
が k 上の任意の射影多様体 X に対して成り立つ[7]。この事実はリュービルの定理(連結コンパクト複素多様体上の任意の正則関数は定数である)の代数類似である。実は、複素射影多様体上の複素解析幾何と代数幾何の間には以下に説明されるようにはるかに大きな類似が成り立つ。
準射影多様体は、定義により、射影多様体の開部分多様体である多様体である。この多様体のクラスはアフィン多様体を含む。アフィン多様体はほとんど決して完備(あるいは射影的)ではない。実際、アフィン多様体の射影部分多様体の次元は 0 でなければならない。なぜならば、射影多様体上の大域的に正則な関数は定数のみだからである。
注
- ^ この斉次イデアルは I の斉次化と呼ばれることがある。
- ^ この定義は Eisenbud–Harris 2000, III.2.3 とは異なるが、ウィキペディアの他の記事と整合的である。
- ^ cf. the proof of Hartshorne 1977, Ch II, Theorem 7.1
- ^ これは難しくない(Hartshorne 1977, Ch III. Lemma 2.10): の脆弱分解 とその射影空間全体への零拡張を考える。
- ^ To make the construction work, one needs to allow for a non-variety.
出典
- ^ Kollár & Moduli, Ch. I.
- ^ Shafarevich, Igor R. (1994), Basic Algebraic Geometry 1: Varieties in Projective Space, Springer
- ^ Mumford 1999, p. 82.
- ^ Hartshorne 1977, Section II.5.
- ^ Mumford 1999, p. 111.
- ^ Grothendieck & Dieudonné 1961, 5.6.
- ^ Hartshorne 1977, Ch II. Exercise 4.5.
- ^ Humphreys, James (1981), Linear algebraic groups, Springer, Theorem 21.3.
- ^ Hartshorne, Ch. V, Exercise 3.4. (e)..
- ^ Fulton 1998, Proposition 8.4..
- ^ Hartshorne, Ch. II, Exercise 5.14. (a).
- ^ Rosen, Michael (2002), Number theory in Function Fields, Springer
- ^ Hartshorne, 1977 & Ch IV, Exercise 1.7.
- ^ Hartshorne 1977, Ch I, Exercise 2.8; その理由は、{{Pn}} の斉次座標環は一意分解整域であって、そのような環では高さ 1 の任意の素イデアルは単項イデアルだからである。
- ^ Shafarevich 1994, Ch. I. § 4.4. Example 1..
- ^ Mumford, Ch. II, § 7. Proposition 6..
- ^ Hartshorne, Ch. I, Exercise 4.9..
- ^ Hartshorne 1977, Ch II, Theorem 7.1.
- ^ Hartshorne 1977, Ch II, Proposition 7.2.
- ^ Hartshorne 1977, Ch III. Theorem 5.2.
- ^ Hartshorne 1977, Ch III. Exercise 5.2.
- ^ Hartshorne 1977, Ch IV. Theorem 1.3.
- ^ Kollár 1996, Ch. I 1.4.
- ^ Eisenbud & Harris 2000, VI 2.2
- ^ Hartshorne 1977, Appendix B. Theorem 3.4..
- ^ Griffiths-Adams, IV. 1. 10. Corollary H.
- ^ Griffiths-Adams, IV. 1. 10. Corollary I.
- ^ Hartshorne 1977, Appendix B. Theorem 2.1.
- ^ Mumford 1970, p. 36.
- ^ Hartshorne 1977, Ch III. Remark 7.15..
- ^ Esnault, Hélène; Viehweg, Eckart (1992), Lectures on vanishing theorems, Birkhäuser
- ^ Dolgachev, Igor (1982), “Weighted projective varieties”, Group actions and vector fields (Vancouver, B.C., 1981), Lecture Notes in Math., 956, Berlin: Springer, pp. 34–71, doi:10.1007/BFb0101508, MR0704986
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