射影多様体
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/03/14 15:32 UTC 版)
直線束と因子
射影多様体には著しい性質が多いため、与えられた多様体が射影的であることを示す有効な判定法があることが望ましい。そのような判定法は非常に豊富な直線束の概念を用いて定式化できる。
X を環 A 上のスキームとする。射
があるとする。このとき、この写像に沿って、セールの捩り層 は X 上の直線束 L にプルバックし、これは大域切断 によって生成される[18]。逆に、大域切断 によって生成される任意の直線束 L は、斉次座標で によって与えられる射
を定義する。この写像 φ は および を満たす。さらに、φ が closed immersion であることと、 たちがアファインで が全射であることと同値である[19]。
S 上のスキーム X 上の直線束(可逆層) が S に対して非常に豊富であるとは、 there is an immersion (i.e., an open immersion followed by a closed immersion)
for some n so that pullbacks to ときにいう。このとき S-スキーム X が射影的であることと、 それが is proper and there exists a very ample sheaf on X relative to S であることは同値である。実際、X が proper ならば、非常に豊富な直線束に対応する immersion は閉でなければならない。逆に、X が射影的ならば、X の射影空間への closed immersion による のプルバックは非常に豊富である。「射影」ならば「固有」は、より難しい[疑問点 ]:除去理論の主定理である。
注
- ^ この斉次イデアルは I の斉次化と呼ばれることがある。
- ^ この定義は Eisenbud–Harris 2000, III.2.3 とは異なるが、ウィキペディアの他の記事と整合的である。
- ^ cf. the proof of Hartshorne 1977, Ch II, Theorem 7.1
- ^ これは難しくない(Hartshorne 1977, Ch III. Lemma 2.10): の脆弱分解 とその射影空間全体への零拡張を考える。
- ^ To make the construction work, one needs to allow for a non-variety.
出典
- ^ Kollár & Moduli, Ch. I.
- ^ Shafarevich, Igor R. (1994), Basic Algebraic Geometry 1: Varieties in Projective Space, Springer
- ^ Mumford 1999, p. 82.
- ^ Hartshorne 1977, Section II.5.
- ^ Mumford 1999, p. 111.
- ^ Grothendieck & Dieudonné 1961, 5.6.
- ^ Hartshorne 1977, Ch II. Exercise 4.5.
- ^ Humphreys, James (1981), Linear algebraic groups, Springer, Theorem 21.3.
- ^ Hartshorne, Ch. V, Exercise 3.4. (e)..
- ^ Fulton 1998, Proposition 8.4..
- ^ Hartshorne, Ch. II, Exercise 5.14. (a).
- ^ Rosen, Michael (2002), Number theory in Function Fields, Springer
- ^ Hartshorne, 1977 & Ch IV, Exercise 1.7.
- ^ Hartshorne 1977, Ch I, Exercise 2.8; その理由は、{{Pn}} の斉次座標環は一意分解整域であって、そのような環では高さ 1 の任意の素イデアルは単項イデアルだからである。
- ^ Shafarevich 1994, Ch. I. § 4.4. Example 1..
- ^ Mumford, Ch. II, § 7. Proposition 6..
- ^ Hartshorne, Ch. I, Exercise 4.9..
- ^ Hartshorne 1977, Ch II, Theorem 7.1.
- ^ Hartshorne 1977, Ch II, Proposition 7.2.
- ^ Hartshorne 1977, Ch III. Theorem 5.2.
- ^ Hartshorne 1977, Ch III. Exercise 5.2.
- ^ Hartshorne 1977, Ch IV. Theorem 1.3.
- ^ Kollár 1996, Ch. I 1.4.
- ^ Eisenbud & Harris 2000, VI 2.2
- ^ Hartshorne 1977, Appendix B. Theorem 3.4..
- ^ Griffiths-Adams, IV. 1. 10. Corollary H.
- ^ Griffiths-Adams, IV. 1. 10. Corollary I.
- ^ Hartshorne 1977, Appendix B. Theorem 2.1.
- ^ Mumford 1970, p. 36.
- ^ Hartshorne 1977, Ch III. Remark 7.15..
- ^ Esnault, Hélène; Viehweg, Eckart (1992), Lectures on vanishing theorems, Birkhäuser
- ^ Dolgachev, Igor (1982), “Weighted projective varieties”, Group actions and vector fields (Vancouver, B.C., 1981), Lecture Notes in Math., 956, Berlin: Springer, pp. 34–71, doi:10.1007/BFb0101508, MR0704986
- 射影多様体のページへのリンク