射影多様体

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/14 15:32 UTC 版)

射影

$E\subset \mathbb {P} ^{n}$ を線型部分空間とする、すなわち、ある線型独立な線型汎関数 $s i$ たちに対して $E=\{s_{0}=s_{1}=\dots =s_{r}=0\}$ である。このとき $E$ からの射影は (well-defined な) 射

\phi \colon \mathbb {P} ^{n}-E\to \mathbb {P} ^{r},\,x\mapsto [s_{0}(x):\cdots :s_{r}(x)]

である。

この写像の幾何学的記述は以下のようである^[15]。 $\mathbb {P} ^{r}\subset \mathbb {P} ^{n}$ と見て、したがってそれは $E$ と交わらない。すると、任意の $x\in \mathbb {P} ^{n}-E$ に対して、
$\phi (x)=W_{x}\cap \mathbb {P} ^{r}$

である、ただし

W x

で

E

と

x

を含む最小の線型空間（

E

と

x

の結び（英語版）と呼ばれる）を表した。

$\phi ^{-1}(\{y_{i}\neq 0\})=\{s_{i}\neq 0\}$ , ただし $y_{i}$ は $\mathbb {P} ^{r}$ の斉次座標。
$E$ と交わらない任意の閉部分スキーム $Z\subset \mathbb {P} ^{n}$ に対して、制限
$\phi \colon Z\to \mathbb {P} ^{r}$

は有限射である^[16]。

射影は、有限射の違いを除いて、射影多様体が埋め込まれている次元を減らすのに使うことができる。射影多様体 $X\subset \mathbb {P} ^{n}$ から始めよう。 $n > dim X$ ならば、 $X$ 上にない点からの射影は $φ : X \to P n - 1$ を与える。さらに、 $φ$ はその像への有限射である、したがって、この手続きを繰り返して、有限射

X\to \mathbb {P} ^{d},\,d=\operatorname {dim} X

があることが分かる。この結果はネーターの正規化定理の射影類似である。（実は、それは正規化定理の幾何学的証明を与える。）

同じ手続きは以下の僅かにより正確な結果を示すのに使える：完全体上の射影多様体 $X$ が与えられると、 $X$ から $\mathbb {P} ^{d+1}$ 内の超曲面 $H$ への有限双有理射が存在する^[17]。特に、 $X$ が正規ならば、それは $H$ の正規化である。

脚注

注

^ この斉次イデアルは $I$ の斉次化と呼ばれることがある。
^ この定義は Eisenbud–Harris 2000, III.2.3 とは異なるが、ウィキペディアの他の記事と整合的である。
^ cf. the proof of Hartshorne 1977, Ch II, Theorem 7.1
^ これは難しくない(Hartshorne 1977, Ch III. Lemma 2.10)： ${\mathcal {F}}$ の脆弱分解（英語版）とその射影空間全体への零拡張を考える。
^ To make the construction work, one needs to allow for a non-variety.

出典

^ Kollár & Moduli, Ch. I.
^ Shafarevich, Igor R. (1994), Basic Algebraic Geometry 1: Varieties in Projective Space, Springer
^ Mumford 1999, p. 82.
^ Hartshorne 1977, Section II.5.
^ Mumford 1999, p. 111.
^ Grothendieck & Dieudonné 1961, 5.6.
^ Hartshorne 1977, Ch II. Exercise 4.5.
^ Humphreys, James (1981), Linear algebraic groups, Springer , Theorem 21.3.
^ Hartshorne, Ch. V, Exercise 3.4. (e)..
^ Fulton 1998, Proposition 8.4..
^ Hartshorne, Ch. II, Exercise 5.14. (a).
^ Rosen, Michael (2002), Number theory in Function Fields, Springer
^ Hartshorne, 1977 & Ch IV, Exercise 1.7.
^ Hartshorne 1977, Ch I, Exercise 2.8; その理由は、{{Pⁿ}} の斉次座標環は一意分解整域であって、そのような環では高さ 1 の任意の素イデアルは単項イデアルだからである。
^ Shafarevich 1994, Ch. I. § 4.4. Example 1..
^ Mumford, Ch. II, § 7. Proposition 6..
^ Hartshorne, Ch. I, Exercise 4.9..
^ Hartshorne 1977, Ch II, Theorem 7.1.
^ Hartshorne 1977, Ch II, Proposition 7.2.
^ Hartshorne 1977, Ch III. Theorem 5.2.
^ Hartshorne 1977, Ch III. Exercise 5.2.
^ Hartshorne 1977, Ch IV. Theorem 1.3.
^ Kollár 1996, Ch. I 1.4.
^ Eisenbud & Harris 2000, VI 2.2
^ Hartshorne 1977, Appendix B. Theorem 3.4..
^ Griffiths-Adams, IV. 1. 10. Corollary H.
^ Griffiths-Adams, IV. 1. 10. Corollary I.
^ Hartshorne 1977, Appendix B. Theorem 2.1.
^ Mumford 1970, p. 36.
^ Hartshorne 1977, Ch III. Remark 7.15..
^ Esnault, Hélène; Viehweg, Eckart (1992), Lectures on vanishing theorems, Birkhäuser
^ Dolgachev, Igor (1982), “Weighted projective varieties”, Group actions and vector fields (Vancouver, B.C., 1981), Lecture Notes in Math., 956, Berlin: Springer, pp. 34–71, doi:10.1007/BFb0101508, MR 0704986