多変量正規分布
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/12/07 06:29 UTC 版)
アフィン変換
で Y = c + BX がそのアフィン変換であるとき(c は 定ベクトル、B は 定行列)、Y も多変量正規分布に従い、平均ベクトルは c + Bμ、分散共分散行列は BΣBT である(つまり )。
特に、成分 Xi たちの任意の部分集合が従う周辺分布は再び多変量正規分布になる。例えば、部分集合 (X1, X2, X4)T を直接抜き出してくるには、行列
を使えばよい。
別の系として、多変量正規分布に従う X と定ベクトル b のドット積をとった Z = b · X は、1変量正規分布に従う()。
と考えればよい。Σ の正定値性(半正定値性)から、ドット積をとった確率変数の分散は正(非負)になる。
X のアフィン変換 2X は、X と同一の分布に従う2個の独立な確率変数の和とは別物である。
- ^ a b c Lapidoth, Amos (2009). A Foundation in Digital Communication. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19395-5
- ^ Gut, Allan (2009). An Intermediate Course in Probability. Springer. ISBN 978-1-441-90161-3
- ^ Kac, M. (1939). “On a characterization of the normal distribution”. American Journal of Mathematics 61 (3): 726–728. doi:10.2307/2371328. JSTOR 2371328.
- ^ Sinz, Fabian; Gerwinn, Sebastian; Bethge, Matthias (2009). “Characterization of the p-generalized normal distribution”. Journal of Multivariate Analysis 100 (5): 817–820. doi:10.1016/j.jmva.2008.07.006.
- ^ UIUC, Lecture 21. The Multivariate Normal Distribution, 21.5:"Finding the Density".
- ^ Hamedani, G. G.; Tata, M. N. (1975). “On the determination of the bivariate normal distribution from distributions of linear combinations of the variables”. The American Mathematical Monthly 82 (9): 913–915. doi:10.2307/2318494. JSTOR 2318494.
- ^ Wyatt, John. “Linear least mean-squared error estimation”. Lecture notes course on applied probability. 2012年1月23日閲覧。
- ^ 周辺分布についての正式な証明は http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/gaussianprocess/node7.html 参照。
- ^ Gentle, J.E. (2009). Computational Statistics. Statistics and Computing. New York: Springer. pp. 315–316. doi:10.1007/978-0-387-98144-4. ISBN 978-0-387-98143-7
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