多変量統計
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 15:07 UTC 版)
多変量統計におけるモーメントはクロネッカー積を用いて表すことができる。x = (X1, X2, ... ) を多変量のベクトルとすれば、 一次のモーメントは、 μ 1 = E [ x ] = ( E [ X 1 ] , E [ X 2 ] , . . . ) {\displaystyle \mu _{1}=E[x]=(E[X_{1}],E[X_{2}],...)} 二次のモーメントは、 μ 2 = E [ x ⊗ x t ] = ( E [ X 1 2 ] , E [ X 2 2 ] , . . . , E [ X 1 X 2 ] , E [ X 1 X 3 ] , . . . ) {\displaystyle \mu _{2}=E[x\otimes x^{t}]=(E[X_{1}^{2}],E[X_{2}^{2}],...,E[X_{1}X_{2}],E[X_{1}X_{3}],...)} 三変数での例 [ a b c ] ⊗ [ a b c ] = [ a ⋅ a a ⋅ b a ⋅ c b ⋅ a b ⋅ b b ⋅ c c ⋅ a c ⋅ b c ⋅ c ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}a&b&c\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\cdot a&a\cdot b&a\cdot c\\b\cdot a&b\cdot b&b\cdot c\\c\cdot a&c\cdot b&c\cdot c\end{bmatrix}}} で共分散行列となる。 同様に、 三次モーメントは、 μ 3 = E [ x ⊗ x t ⊗ x t ] {\displaystyle \mu _{3}=E[x\otimes x^{t}\otimes x^{t}]} ２変数での例 [ a b ] ⊗ [ a b ] ⊗ [ a b ] = [ a ⋅ a a ⋅ b b ⋅ a b ⋅ b ] ⊗ [ a b ] = [ a a ⋅ a a a ⋅ b a b ⋅ a a b ⋅ b b a ⋅ a b a ⋅ b b b ⋅ a b b ⋅ b ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\cdot a&a\cdot b\\b\cdot a&b\cdot b\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}aa\cdot a&aa\cdot b&ab\cdot a&ab\cdot b\\ba\cdot a&ba\cdot b&bb\cdot a&bb\cdot b\end{bmatrix}}} 四次モーメントは、 μ 4 = E [ x ⊗ x t ⊗ x t ⊗ x t ] {\displaystyle \mu _{4}=E[x\otimes x^{t}\otimes x^{t}\otimes x^{t}]} 一般に k 次モーメントは、 μ k = E [ x ⊗ k ] {\displaystyle \mu _{k}=E[x^{\otimes k}]} と書かれる。
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