ノルム代数 ノルム代数の概要

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ノルム代数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/04/12 01:26 UTC 版)

劣乗法性: ${\displaystyle \|xy\|\leq \|x\|\|y\|\quad (\forall x,y\in A)}$

を満たすものを言う^{[注釈 2]}。加えて、A が乗法単位元 1_A を持つ（単位的多元環）ならば ‖ 1_A ‖ = 1 も仮定することがある^{[注釈 3]}。

定義

ノルム代数は、ノルム体^{[注釈 1]} K 上の K-代数 A と A 上定義されたノルム ‖ • ‖: A → R の組 (A, ‖ · ‖) で以下の性質を満たすものを言う^[3]:

• 独立性: ${\displaystyle \|a\|=0\iff a=0\quad (\forall a\in A).}$
• 斉次性: ${\displaystyle \|\lambda a\|=|\lambda |\cdot \|a\|\quad (\forall \lambda \in \mathbb {K} ,\forall a\in A).}$
• 劣加法性 (三角不等式): ${\displaystyle \|a+b\|\leq \|a\|+\|b\|\quad (\forall a,b\in A).}$
• 劣乗法性: ${\displaystyle \|a\cdot b\|\leq \|a\|\cdot \|b\|\quad (\forall a,b\in A).}$

上の三つの条件は A が線型空間として K-ノルム空間を成すことを言うものである。最後の「乗法的」な条件は A の乗法に関するものだが、加法に関する三角不等式の乗法的対応物であり、文献によってはこれを乗法的三角不等式 (multiplicative triangle inequality) とも称する。この条件により A の乗法の連続性が保証され、ノルム代数 A は位相線型環になる。

上記の劣乗法性がより強く等号で成り立つ（つまり、ノルムが乗法的となる）とき乗法的ノルム代数とも呼ぶが、乗法的ノルム代数は必ず可除となり、したがって乗法的ノルム代数とノルム多元体（さらに強く、バナッハ多元体）は等価な概念を定める^[4]。

例

• もっとも重要なノルム代数の例はバナッハ代数、すなわちノルム完備なノルム代数である。
• 絶対値をノルムに持つ位相体 K はそれ自身ノルム代数である。
• 一変数多項式環 K[X] に ‖ p ‖ ≔ sup_x∈[0,1] |p(x)| で定義されるノルムのもと完備でないノルム代数をなす。