ノルム代数 単位元添加

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ノルム代数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/04/12 01:26 UTC 版)

単位元添加

（単位的とは限らない）任意の K-ノルム代数 A は、その「単位化」(unitalization) の閉イデアルになる。この「単位化」は線型空間の直和 A ⊕ K 上にノルムと積を

$(a,\lambda )(b,\mu )=(ab+\lambda b+\mu a,\lambda \mu ),\quad \|(a,\lambda )\|=\|a\|+|\lambda |$

入れて得られる単位的ノルム代数である（ただし、ノルムは max(‖ a ‖, |λ|) など同値なノルムに取り換えてよい）。

バナッハ代数の単位化はふたたびバナッハである。

C*-環の単位化は自然な対合とノルム ‖ (a,λ) ‖ = sup_{b∈A,‖ b ‖≤1} ‖ ab + λb ‖ のもとで C*-環である。例えば、X を局所コンパクト空間とするとき、X 上の連続なスカラー値函数で無限遠で消えているもの全体に一様収束のノルムを入れた C*-環 C₀(X) の単位化は X のアレクサンドロフコンパクト化 X⁺ 上の連続函数環 C(X⁺) である。その具体例として C₀(ℝⁿ) の単位化は C(Sⁿ) になる。