トーラス

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/02/15 04:45 UTC 版)

位相的トーラス

コーヒーカップとドーナツは同相である

位相幾何学的には、トーラスはどれだけ伸縮してもいい。有名な例は、ドーナツとコーヒーカップは同相である、というものである。つまり、コーヒーカップ（の表面）もトーラスである。

三葉結び目状のトーラス

また、結び目状になっているトーラスを考えることもできる。全ての結び目が円周に同相なように、結び目状になっているトーラスも標準的なトーラスと同相になる。ただし中心曲線の結び目が異なれば3次元空間上ではそれらは同位にならない。

性質

トーラスの基本群は $⟨ x, y : xyx -1 y -1 ⟩$ である。

多孔トーラス

トーラスは、2次元球面から2つの円板を除去し、その境界に円柱面 S¹×I の両端を貼り付けることによってつくることもできる。トーラスに対してさらにもう1つシリンダーをつけた曲面は二つ穴トーラス (double torus) と呼ぶことがある。これを繰り返してさらに多くの穴を持ったトーラスを考えることができ、穴の個数のことを種数という。また、シリンダーをつける操作は、新たなトーラスを連結和によって加えていることに相当する。

2つ穴トーラス
3つ穴トーラス

トーラス形多面体

詳細は「穿孔多面体」を参照

位相的にトーラス（あるいは多孔トーラス）である多面体はトーラス形多面体 (toroidal polyhedra) または穿孔多面体（穴のある多面体）と呼ばれる。

n次元トーラス

円周あるいは単純閉曲線 S¹ を 1 次元トーラスという。冒頭で述べた意味でのトーラスは S¹ × S¹ とあらわすことができる（片方の S¹ をメリディアン、もう片方の S¹ をロンジチュードと考えればよい）。一般に、n 次元トーラスあるいは簡単に n-トーラス Tⁿ とは S¹ の n 個の直積

T^{n}=S^{1}\times S^{1}\times \cdots \times S^{1}

のことである。この語法に従えば、冒頭で述べた意味でのトーラスは 2-トーラスということになる。

代数トーラス

「代数トーラス（英語版）」も参照

代数学においては、絶対値が 1 に等しい複素数が複素数平面上で描く軌跡はしばしば S¹ = T¹ とみなされる。また、T¹ は線分 [0, 1] の両端を同一視したもの、あるいは同じことだが実数体 R を有理整数環 Z で割った剰余環 R / Z とも同一視される。このとき、1-トーラス T¹ は積に関してコンパクト位相群となる。