ガンマ関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/01/14 04:32 UTC 版)
ハンケルの積分表示
ガンマ関数は次の周回積分で表される[5]。積分経路は正の無限大から実軸の上側に沿って原点に至り、原点を正の向きに回り、実軸の下側に沿って無限大に戻るものとする。但し、その偏角はとする。
これをハンケルの積分表示と呼ぶ。このハンケルの積分表示は、積分経路を適当に変形し、数値積分でガンマ関数の値を求めるために使われることがある[6]。
ハンケルの積分表示の導出
極座標表示 を用いると、実軸の上側に沿う部分は で から まで、原点を回る部分は で から まで、実軸の下側に沿う部分は で から までとなる。
とすると で であるから
である。しかし、左辺の被積分関数は が有界であるかぎり正則であるから、左辺は複素平面全体に解析接続する。従って、
である。 とすれば、同様にして
を得る。また、相反公式により、
を得る。
- ^ a b E. T. Whittaker and G. N. Watson (1927), Chapter XII, §12.1
- ^ Wolfram mathworld: Gamma Function
- ^ 福原 1951, p. 94.
- ^ 福原 1951, p. 97.
- ^ Springer Online Reference Works: Gamma-function
- ^ Schmelzer & Trefethen (2007), Computing the Gamma function using contour integrals and rational approximations
- ^ a b 小松 (2004)、第2章
- ^ 神保 2003, 定理 5.15.
- ^ Otto Ludwig Hölder, "Über die Eigenschaft der Gammafunction keiner algebraischen Differentialgleichung zu genügen," Math. Ann., 28, (1887) pp. 1–13. doi:10.1007/BF02430507
- ^ Eliakim Hastings Moore, "Concerning transcendentally transcendental functions," Math. Ann., 48 (1897), pp. 49–74. doi:10.1007/BF01446334
- ^ A. Ostrowski, "Neuer Beweis der Hölderschen Satzes, dass die Gammafunktion keiner algebraischen Differntialgleichung genügt." Math. Ann. 79 (1919), pp. 286–288. doi:10.1007/BF01458212
- ^ A. Ostrowski, "Zum Hölderschen Satz über Γ(x). Math. Ann. 94 (1925), pp. 248–251. doi:10.1007/BF01208657
- ^ E. W. Barnes, "The theory of the Gamma function," Messenger of Math. 29 (1900), pp. 64–128.
- ^ F. Hausdorff, "Zum Hölderschen Satz über Γ(x)," Math. Ann. 94 (1925), pp. 244–247. doi:10.1007/BF01208656
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