イデアルの根基 イデアルの根基の概要

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イデアルの根基

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/30 00:37 UTC 版)

ここで定義された根基イデアルは、半素環の記事において非可換環に一般化される。

定義

可換環 R のイデアル I の根基は、Rad(I) または ${\sqrt {I}}$ と表記され、

${\sqrt {I}}=\{r\in R\mid r^{n}\in I{\text{ for some positive integer }}n\}$

と定義される。

直感的には、I の根基は I の元のあらゆるベキ根を取ることで得られると考えられる。同じことだが、I の根基はベキ零元からなるイデアル（冪零イデアルと呼ばれる）の $R/I$ における逆像である。後者は ${\sqrt {I}}$ はそれ自身イデアルであり、 I を含むことを示している。

I の根基が有限生成ならば、${\sqrt {I}}$ を何乗かすると I に含まれる。とくに、I と J がネーター環のイデアルであれば、I と J が同じ根基をもつことと、I が J のあるベキを含み J が I のあるベキを含むことは同値である。

イデアル I が自分自身の根基と一致すれば、I は根基イデアルまたは半素イデアルと呼ばれる。

例

整数環 Z を考える。

1. 4の倍数のイデアル 4Z の根基は 2Z である。
2. 5Z の根基は 5Z である。
3. 12Z の根基は 6Z である。
4. 一般に、mZ の根基は rZ である。ただし r は m のすべての素因数の積である（radical of an integer を参照）。実はこれは任意のイデアルに一般化される（性質を参照）。

準素イデアルの根基は素イデアルである。イデアル I の根基が極大であれば、I は準素である。

I がイデアルであれば、${\sqrt {I^{n}}}={\sqrt {I}}$ である。素イデアルは根基イデアルである。よって任意の素イデアル P に対し ${\sqrt {P^{n}}}=P$ である。

I, J を環 R のイデアルとする。${\sqrt {I}},{\sqrt {J}}$ が comaximal であれば、$I,J$ も comaximal である。

M をネーター環 R 上有限生成加群とする。このとき

${\sqrt {\operatorname {ann} _{R}(M)}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {supp} M}{\mathfrak {p}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {ass} M}{\mathfrak {p}}$

が成り立つ。ただし $\operatorname {supp} M$ は M の台で、 $\operatorname {ass} M$ は M に伴う素イデアルの集合である。