ブローアップ (数学)
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/08/07 22:17 UTC 版)
数学のブローアップ（英: blowing up, blowup）とは、空間の部分空間をその部分空間を指し示す向き全体の空間に置き換える、一種の幾何学的変換である。例えば平面の点でのブローアップはその点をその点の接ベクトル空間を射影化したものに置き換える。ブローアップにより、空間の点における関数や写像、微分形式の無限小での振る舞いを大域的な現象に変換できる[1]。この言葉が持つ爆発（explosion）という意味を使ってこの幾何学的変換を暗喩しているというよりは、「写真の一部を大きくするために写真上でズームインする」という意味を使って暗喩している[要出典][注釈 1]。
ブローアップは双有理幾何学における最も基本的な変換である。弱分解定理（The weak factorization theorem）によれば、射影多様体の間のすべての双有理写像はブローアップとその逆演算の合成としてかける[2][3]。平面の双有理自己同型のなす群であるクレモナ群はブローアップで生成される。
双有理変換を説明するという重要性のほかに、ブローアップは新しい空間を作る重要な方法でもある。例えば、特異点解消のほとんどの方法は滑らかになるまで特異点でブローアップするというものである。さらに、これを使ってブローアップを双有理写像の不確定点を除去するために使うこともできる。
ブローアップは、まず射影空間のような空間上で座標を使って具体的にブローアップを定義し、次に埋め込みを使って他の空間でのブローアップを定義するという、外在的な方法で古くは定義されていた。このことは単項変換（monoidal transformation）といった古典的な用語に現れている。現代の代数幾何学ではブローアップは代数多様体上の内在的な操作として扱う。この観点ではブローアップとは部分代数多様体をカルティエ因子に変換する（圏論的な意味での）普遍的な操作である。
ブローアップは、爆発、単項変換（monoidal transformation; モノイダル変換とも）、局所2次変換（locally quadratic transformation）、dilatation, σ-process, ホップ写像（Hopf map）とも呼ばれる。ブローアップという言葉で、この幾何学的変換を施してできあがった空間を指すことも多い。
平面の点でのブローアップ
最も簡単なブローアップは平面の点でのブローアップである。この例を通して、ブローアップの一般的な性質をほとんど見ることができる。この節では、ブローアップという操作で得られた空間のことを特に頻繁にブローアップと呼ぶことにする。
ブローアップは結合対応[訳語疑問点]（incidence correspondence）として表すことができる。まず、グラスマン多様体 G(1, 2) で平面の特定の点を通るすべての直線の集合をパラメトライズできたことを思い出す。射影平面 P2 の点 P でのブローアップ X は
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