ランプ関数 （英 : ramp function ）とは、一変数の実関数 であり、独立変数 とその絶対値の平均として容易に求められる。区分線形関数 。
この関数は工学において（DSP の理論など）応用を持つ。"ramp function"の名は、グラフの形状が傾斜路 （英 : ramp ）に似ていることに由来する。
定義 ランプ関数 R (x ) : R → R
場合分け
R
(
x
)
:=
{
x
,
x
≥
0
0
,
x
<
0
{\displaystyle R(x):={\begin{cases}x,&x\geq 0\\0,&x<0\end{cases}}}
指数 1 の切断冪関数
R
(
x
)
:=
x
+
{\displaystyle R(x):=x_{+}}
最大値関数
R
(
x
)
:=
max
(
x
,
0
)
{\displaystyle R(x):=\max(x,0)}
傾きが1の直線とその絶対値との平均[1]
R
(
x
)
:=
x
+
|
x
|
2
{\displaystyle R(x):={\frac {x+|x|}{2}}}
傾きが1の直線とヘビサイド関数 との積
R
(
x
)
:=
x
H
(
x
)
{\displaystyle R\left(x\right):=xH\left(x\right)}
ヘビサイド関数とそれ自身の畳み込み
R
(
x
)
:=
H
(
x
)
∗
H
(
x
)
{\displaystyle R\left(x\right):=H\left(x\right)*H\left(x\right)}
ヘビサイド関数の積分
R
(
x
)
:=
∫
−
∞
x
H
(
ξ
)
d
ξ
{\displaystyle R(x):=\int _{-\infty }^{x}H(\xi )\mathrm {d} \xi }
マコーレーの括弧（英語版 ）
R
(
x
)
:=
⟨
x
⟩
{\displaystyle R(x):=\langle x\rangle }
解析的性質 非負性 ランプ関数は定義域全体で非負となる。
∀
x
∈
R
:
R
(
x
)
≥
0
{\displaystyle \forall x\in \mathbf {R} :R(x)\geq 0}
そのため、関数の値はその絶対値に等しい。
|
R
(
x
)
|
=
R
(
x
)
{\displaystyle |R(x)|=R(x)}
導関数 ランプ関数の導関数はヘビサイド関数 に等しい。
R
′
(
x
)
=
H
(
x
)
i
f
x
≠
0
{\displaystyle R'(x)=H(x)\ \mathrm {if} \ x\neq 0}
二階導関数 ランプ関数は次の微分方程式を満たす。但し δ (x )ディラックのデルタ関数 である。
d
2
d
x
2
R
(
x
−
x
0
)
=
δ
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}}{\operatorname {d} x^{2}}}R(x-x_{0})=\delta (x-x_{0})}
これは、R (x )グリーン関数 であることを意味する。これにより、可積分な二階導関数 f ′′(x )f (x )a < x < b
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
(
x
−
a
)
f
′
(
a
)
+
∫
a
b
R
(
x
−
s
)
f
″
(
s
)
d
s
{\displaystyle f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+\int _{a}^{b}R(x-s)f''(s)\operatorname {d} s}
フーリエ変換 ランプ関数のフーリエ変換 は次の通りとなる。
F
{
R
(
x
)
}
(
f
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{R(x)\right\}(f)}
=
{\displaystyle =}
∫
−
∞
∞
R
(
x
)
e
−
2
π
i
f
x
d
x
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }R(x)e^{-2\pi ifx}dx}
=
{\displaystyle =}
i
δ
′
(
f
)
4
π
−
1
4
π
2
f
2
{\displaystyle {\frac {i\delta '(f)}{4\pi }}-{\frac {1}{4\pi ^{2}f^{2}}}}
ここで δ (x )ディラックのデルタ関数 （式中では導関数 が使用されていることに注意）。
ラプラス変換 ランプ関数の片側ラプラス変換 は次の通りとなる。
L
{
R
(
x
)
}
(
s
)
=
∫
0
∞
e
−
s
x
R
(
x
)
d
x
=
1
s
2
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{R\left(x\right)\right\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}R(x)dx={\frac {1}{s^{2}}}.}
代数的性質 冪等性 ランプ関数の任意の反復合成 はランプ関数に等しい。[2]
R
(
R
(
x
)
)
=
R
(
x
)
{\displaystyle R(R(x))=R(x)}
脚注
^ これは max(a ,b ) が次のように定義できることによる。
max
(
a
,
b
)
=
a
+
b
+
|
a
−
b
|
2
{\displaystyle \max(a,b)={\frac {a+b+|a-b|}{2}}}
これを最大値関数による定義 R (x ) := max(x ,0) ^ 次の証明には非負性 が用いられている。
R
(
R
(
x
)
)
:=
R
(
x
)
+
|
R
(
x
)
|
2
=
R
(
x
)
+
R
(
x
)
2
=
R
(
x
)
{\displaystyle R(R(x)):={\frac {R(x)+|R(x)|}{2}}={\frac {R(x)+R(x)}{2}}=R(x)}
外部リンク Weisstein, Eric W "Ramp Function " . MathWorld （英語）
