Q 上の解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/30 17:00 UTC 版)
「コーシーの函数方程式」の記事における「Q 上の解」の解説
初等的な四則演算しか含まない簡単な議論によって、有理数変数有理数値の加法的函数 f: Q → Q の概念が Q 上の Q-線型写像の概念と同じものを定めることが示せる。 定理 函数 f: Q → Q が加法的ならば、f は Q-線型である。 証明の概略 加法性から明らかに f(0) = 0 および x は任意として、自然数 n に対して f(nx) = n⋅f(x) が分かる。これにより 0 = f(x + (−x)) = f(x) + f(−x) から f((−1)⋅x) = (−1)⋅f(x) および自然数 d に対して f(d⋅x/d) = d⋅f(x/d) から f((1/d)⋅x) = (1/d)⋅f(x). ゆえに任意の有理数 q = ±n/d (n, d は自然数) に対して、f(qx) = f((±n/d)⋅x) = f(n⋅((±1/d)⋅x))= n⋅f((±1/d)⋅x) = n⋅f((1/d)⋅((±1)⋅x)) = (n/d)⋅f((±1)⋅x) = (±n/d)⋅f(x) = q⋅f(x).
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