Probability measure

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確率測度

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/10 12:34 UTC 版)

確率論
確率の公理
確率空間 標本空間 根元事象 事象 確率変数 確率測度
余事象 結合確立 周辺確率 条件付確率
独立 条件付き独立 全確率の法則 大数の法則 ベイズの定理 ブールの不等式
ベン図 樹形図
表 話 編 歴

いくつかの場合において、統計物理学で確率測度という用語が用いられるが、そこで用いられる全ての測度が確率測度であるわけではない。

確率論における確率測度（かくりつそくど、英: probability measure）は、標本空間に事象となる完全加法族が与えられたとき、事象の確率を測る測度のことである。一般の測度の公理（完全加法性など）に加えて、標本空間の測度は 1 であることが公理に加わる。

確率測度は、アンドレイ・コルモゴロフが『確率論の基礎概念』（1933年）で確率を公理的確率へと拡張する上で導入された。

確率を「事象の測度」ととらえることにより、確率を公理的立場から決定し、非等確率空間における理論的確率も求められるようになった。

確率測度は物理学からファイナンスや生物学まで様々な分野において応用されている。

導出の必然性

根元事象が無数にある場合は確率をラプラスの古典的確率で定義することができない。また、アンドレイ・コルモゴロフは自身が見出した定理（コルモゴロフの拡張定理）により、確率を無限次元に対して拡張できる必要十分条件として、確率関数がσ-加法性を満たすことを見出し、測度としての公理的確率を提唱した。

定義

3つの事象を単位区間へ写像する確率測度

函数 μ が事象空間上の確率測度であるためには、以下の2つの条件が満たされなければならない。

• μ は、単位区間 [0, 1] 上の値を返し、空集合に対しては0を返し全空間では1を返す関数である。
• 互いに素な高々可算個の可測集合列 {E_n} に対し、

$\mu {\Bigl (}\textstyle \bigcup \limits _{n\in \mathbb {N} }E_{n}{\Bigr )}=\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }\mu (E_{n})$

• GND: 4137556-7