Prime ideal

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素イデアル

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/14 15:35 UTC 版)

素イデアル（そイデアル、英: prime ideal）は、環のイデアルで、ある条件を満たすものである。歴史的には、素数（素元）の概念の拡張としてデデキントによって代数体の整数環に対して定義された。整数環（一般にデデキント環）のすべてのゼロでない（整）イデアルは、素イデアルの有限個の積として（順序を除いて）一意的に書ける（イデアル論の基本定理）。スキームの理論は、図形の上の関数の成す環から下の空間を構成するという idea がもとになっているが、その時に、その環の素イデアルひとつひとつが、下の空間の点に対応する。

可換環に対して

定義

可換環 R のイデアル P ≠ R が素イデアルであるとは、

• a, b ∈R, ab ∈P のとき、a ∈ P または b ∈ P

を満たすことを言う。

環 R の素イデアルのなす集合は Spec(R) と表される。

例と性質

• 有理整数環 Z において、素数 p の倍数全体が成すイデアル pZ は素イデアルである。

一般に、可換環 R において、その素元 p が生成するイデアル pR は 0 でない素イデアルになる。これは逆も正しい。すなわち、p ∈ R に対し単項イデアル pR ≠ 0 が素イデアルならば、p は素元である。

• 一般に、R, S を可換環、f: R → S を環の準同型としたとき、f による S の任意の素イデアルの引き戻し f⁻¹(S) は、R の素イデアルになる。
• 可換環 R のイデアル I が素イデアルであることと、剰余環 R/I が整域であることは同値である。とくに、0 が素イデアルであることと R が整域であることは同値である。
• デデキント整域のすべての 0 でない真のイデアルは、素イデアルの積に一意的に分解する。

局所化

$R$