多項式行列とは？わかりやすく解説

数学における多項式行列（たこうしきぎょうれつ、英: polynomial-matrix）は、多項式（一変数あるいは多変数）を成分とする行列 (matrix of polynomial) を言う。この場合の「行列」は一般の矩形行列でもよいが、（多項式として）乗法が自由に行えないことは不便であるので、正方行列の範囲で考えることもよくある。

あるいは「多項式行列とは、行列係数の多項式^{[注 1]}のことである」と言ってもよい^{[注 2]}（抽象代数学の言葉を用いれば、係数環を $R$ として、行列環 $M n (R [X])$ と多項式環 $(M n (R))[X]$ は自然に環同型である^{[注 3]}と言い表せる）。すなわち一般に、一変数 $x$ に関する次数 $p$ の多項式行列 $P$ は、定数（スカラー）の成分を持つ同じ型の行列 $A i$ ( $i = 1, \dots, p$ ) で $A p$ は零行列でないものとして

P=\sum _{n=0}^{p}A_{n}x^{n}=A_{0}+A_{1}x+A_{2}x^{2}+\dotsb +A_{p}x^{p}

[注 1]

[注 2]

[注 3]

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