数学 、特に解析的整数論 におけるペロンの公式 （ペロンのこうしき、英 : Perron's formula ）とは、オスカー・ペロン（英語版 、ドイツ語版 ） による、逆メリン変換 を用いて数論的関数の和を計算する公式である。
主張
{
a
(
n
)
}
n
{\displaystyle \{a(n)\}_{n}}
数論的関数 （つまり複素数の列）とし、
g
(
s
)
:=
∑
n
=
1
∞
a
(
n
)
n
s
,
s
∈
C
{\displaystyle g(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}},\quad s\in \mathbb {C} }
を対応するディリクレ級数 とする。実数
c
>
0
{\displaystyle c>0}
{
s
|
R
e
(
s
)
>
c
}
{\displaystyle \{s|\mathrm {Re} (s)>c\}}
一様収束 するものとする。
実数
x
>
0
{\displaystyle x>0}
A
(
x
)
:=
∑
1
≤
n
≤
x
′
a
(
n
)
{\displaystyle A(x):={\sum _{1\leq n\leq x}}'a(n)}
と定義する。ここでプライムのついた和記号は、
x
{\displaystyle x}
このときペロンの公式は、
A
(
x
)
=
1
2
π
i
lim
T
→
∞
∫
c
−
i
T
c
+
i
T
g
(
s
)
x
s
s
d
s
{\displaystyle A(x)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}g(s){\frac {x^{s}}{s}}ds}
右辺の複素積分 は
∫
c
−
i
∞
c
+
i
∞
g
(
s
)
x
s
s
d
s
{\displaystyle \int _{c-i\infty }^{c+i\infty }g(s){\frac {x^{s}}{s}}ds}
コーシーの主値 をとっているものと解釈する。
証明のスケッチ アーベルの総和公式 ：
∑
1
≤
n
≤
M
a
n
ϕ
(
n
)
=
A
(
M
)
ϕ
(
M
)
−
∫
1
M
A
(
x
)
ϕ
′
(
x
)
d
x
{\displaystyle \sum _{1\leq n\leq M}a_{n}\phi (n)=A(M)\phi (M)-\int _{1}^{M}A(x)\phi '(x)\,dx}
において
ϕ
(
x
)
=
x
−
s
{\displaystyle \phi (x)=x^{-s}}
∑
1
≤
n
≤
M
a
n
n
−
s
=
A
(
M
)
M
−
s
+
s
∫
1
M
A
(
x
)
x
−
s
−
1
d
x
{\displaystyle \sum _{1\leq n\leq M}a_{n}n^{-s}=A(M)M^{-s}+s\int _{1}^{M}A(x)x^{-s-1}dx}
M
→
∞
{\displaystyle M\to \infty }
R
e
(
s
)
>
0
{\displaystyle \mathrm {Re} (s)>0}
g
(
s
)
:=
∑
n
=
1
∞
a
(
n
)
n
s
=
s
∫
1
∞
A
(
x
)
x
−
(
s
+
1
)
d
x
{\displaystyle g(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }A(x)x^{-(s+1)}dx}
変数変換
x
=
e
t
{\displaystyle x=e^{t}}
g
(
s
)
s
=
∫
0
∞
A
(
e
t
)
e
−
s
t
d
t
{\displaystyle {\frac {g(s)}{s}}=\int _{0}^{\infty }A(e^{t})e^{-st}dt}
この右辺はラプラス変換 そのものである。よって逆ラプラス変換[注釈 1]
A
(
e
t
)
=
1
2
π
i
lim
T
→
∞
∫
c
−
i
T
c
+
i
T
g
(
z
)
z
e
t
z
d
z
{\displaystyle A(e^{t})={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}{\frac {g(z)}{z}}e^{tz}dz}
A
(
x
)
=
1
2
π
i
lim
T
→
∞
∫
c
−
i
T
c
+
i
T
g
(
z
)
z
x
z
d
z
{\displaystyle A(x)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}{\frac {g(z)}{z}}x^{z}dz}
例 ディリクレ級数との関連から、ペロンの公式（もしくは証明のスケッチに現れた等式）は数論的な和に関してよく用いられる。
リーマンゼータ関数 は右半平面
{
s
∈
C
|
R
e
(
s
)
>
0
}
{\displaystyle \{s\in \mathbb {C} |\mathrm {Re} (s)>0\}}
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
s
{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}
とディリクレ級数表示され、このとき
a
(
n
)
≡
1
{\displaystyle a(n)\equiv 1}
A
(
x
)
=
⌊
x
⌋
{\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor }
床関数 ）となり
ζ
(
s
)
=
s
∫
1
∞
⌊
x
⌋
x
s
+
1
d
x
{\displaystyle \zeta (s)=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor x\rfloor }{x^{s+1}}}\,dx}
L
(
s
,
χ
)
=
s
∫
1
∞
A
(
x
)
x
s
+
1
d
x
{\displaystyle L(s,\chi )=s\int _{1}^{\infty }{\frac {A(x)}{x^{s+1}}}\,dx}
ここで
A
(
x
)
=
∑
1
≤
n
≤
x
χ
(
n
)
{\displaystyle A(x)=\sum _{1\leq n\leq x}\chi (n)}
[注釈 2] ディリクレ指標
χ
(
n
)
{\displaystyle \chi (n)}
他にも、Mertens関数（英語版 ） （1から n までのメビウス関数 の和）の値をリーマンゼータ関数の複素積分で表したり、チェビシェフ関数 （フォン・マンゴルト関数（英語版 ） の和）を含む積分値をリーマンゼータ関数を使った比で表示するといった応用がある。
一般化 ペロンの公式はメリンの離散的畳み込みの特別な場合である。
∑
n
=
1
∞
a
(
n
)
f
(
n
/
x
)
=
1
2
π
i
∫
c
−
i
∞
c
+
i
∞
F
(
s
)
G
(
s
)
x
s
d
s
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a(n)f(n/x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }F(s)G(s)x^{s}ds}
ここで
G
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
a
(
n
)
n
s
{\displaystyle G(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}}
F
(
s
)
=
∫
0
∞
f
(
x
)
x
s
−
1
d
x
{\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(x)x^{s-1}dx}
試験関数を
f
(
1
/
x
)
=
θ
(
x
−
1
)
{\displaystyle f(1/x)=\theta (x-1)}
θ
(
x
)
{\displaystyle \theta (x)}
ヘヴィサイドの階段関数 ）と選ぶとペロンの公式が得られる。
脚注
^ （訳注）
A
(
x
)
{\displaystyle A(x)}
1
2
π
i
lim
T
→
∞
∫
c
−
i
T
c
+
i
T
y
s
s
d
s
=
{
1
,
if
y
>
1
1
/
2
,
if
y
=
1
0
,
if
0
<
y
<
1
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}{\frac {y^{s}}{s}}ds={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}y>1\\1/2,&{\mbox{if }}y=1\\0,&{\mbox{if }}0<y<1\\\end{cases}}}
を用いる。 ^ （訳注）
A
(
x
)
{\displaystyle A(x)}
参考文献
