Mackeyの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 00:55 UTC 版)
「量子力学の数学的定式化」の記事における「Mackeyの定理」の解説
Mackeyはより弱い条件のもとフォン・ノイマンの一意性定理を示しているM16(p94-95)： 定理 (Mackeyの定理) ― H {\displaystyle {\mathcal {H}}} を可分とは限らないヒルベルト空間とし、 H {\displaystyle {\mathcal {H}}} 上の自己共役作用素 A j , B k j , k = 1 , … , d {\displaystyle A_{j},B_{k}\quad j,k=1,\ldots ,d} と H {\displaystyle {\mathcal {H}}} の稠密部分集合Dが以下の４条件をすべて満たしているとする。 Dは A j , B k j , k = 1 , … , d {\displaystyle A_{j},B_{k}\quad j,k=1,\ldots ,d} で不変である。すなわち A j ( D ) ⊂ D {\displaystyle A_{j}(D)\subset D} 、 B j ( D ) ⊂ D {\displaystyle B_{j}(D)\subset D} ∀ j , k = 1 , … , d {\displaystyle ~~\forall j,k=1,\ldots ,d} を満たす。 (D上の正準交換関係) ∀ j , k = 1 , … , d ∀ ψ ∈ D : [ A j , B k ] ψ = i ℏ δ j , k ψ , {\displaystyle \forall j,k=1,\ldots ,d~\forall \psi \in D~:~[A_{j},B_{k}]\psi =i\hbar \delta _{j,k}\psi ,\quad } [ A j , A k ] ψ = 0 , [ B j , B k ] ψ = 0 {\displaystyle [A_{j},A_{k}]\psi =0,\quad [B_{j},B_{k}]\psi =0} (規約性) A j ( K ∩ D o m ( A j ) ) ⊂ K , {\displaystyle A_{j}({\mathcal {K}}\cap \mathrm {Dom} (A_{j}))\subset {\mathcal {K}},\quad } B k ( K ∩ D o m ( B k ) ) ⊂ K {\displaystyle B_{k}({\mathcal {K}}\cap \mathrm {Dom} (B_{k}))\subset {\mathcal {K}}} が任意の j , k = 1 , … , d {\displaystyle j,k=1,\ldots ,d} に対して成立する閉部分空間 K ⊊ H {\displaystyle {\mathcal {K}}\subsetneq {\mathcal {H}}} は K = { 0 } {\displaystyle {\mathcal {K}}=\{0\}} に限る。 ∑ j = 1 d A j 2 | D + B j 2 | D {\displaystyle \sum _{j=1}^{d}A_{j}{}^{2}|_{D}+B_{j}{}^{2}|_{D}} は本質的に自己共役である このとき、同型写像 U : H → L 2 ( R d ) {\displaystyle U~:~{\mathcal {H}}\to L^{2}(\mathbf {R} ^{d})} が存在し、 ∀ j , k = 1 , … , d : {\displaystyle \forall j,k=1,\ldots ,d~:~} U A j U − 1 = Q j , {\displaystyle UA_{j}U^{-1}=Q_{j},\quad } U B j U − 1 = P j . {\displaystyle UB_{j}U^{-1}=P_{j}.} よって特に、（可分性を仮定しなかったにも関わらず） H {\displaystyle {\mathcal {H}}} が可分である事が従う。
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