単射的対象とは？わかりやすく解説

数学，特に圏論において，単射的対象（たんしゃてきたいしょう，英: injective object, あるいは移入的対象，入射的対象）の概念は単射的加群の概念の一般化である．この概念はホモトピー論とモデル圏の理論において重要である．双対概念は射影的対象である．

定義

$Q$ が $H$ 単射的とは， $H$ における射 $A \to B$ が与えられたとき，任意の $A \to Q$ が $B \to Q$ に拡張することをいう．

${\mathfrak {C}}$ を圏とし ${\mathcal {H}}$ を ${\mathfrak {C}}$ の射のあるクラスとする．

${\mathfrak {C}}$ の対象 $Q$ が ${\mathcal {H}}$ -単射的とは， ${\mathcal {H}}$ の任意の射 $f : A \to Q$ と任意の射 $h : A \to B$ に対して，ある射 $g : B \to Q$ が存在して $f$ （の始域）を拡張する，すなわち $g\circ h=f$ となることをいう．

上の定義における射 $g$ は $h$ と $f$ によって一意的に決定されることは要求されない．

局所的に小さい圏では，それはhom関手 $Hom_{\mathfrak {C}}(-,Q)$ が ${\mathcal {H}}$ -射を全射に送ることと同値である．

${\mathcal {H}}$ の古典的な選択は単射全体のクラスであり，この場合，単射的対象という表現が使われる．

アーベル圏の場合

アーベル圏の場合が単射性の概念のもともとの枠組みであった（そして今でも最も重要なものである）． ${\mathfrak {C}}$ がアーベル圏のとき， ${\mathfrak {C}}$ の対象 $A$ が単射的であるとは，hom関手 $Hom C (-, A)$ が完全であることをいう．

0\to A\to B\to C\to 0

を ${\mathfrak {C}}$ における完全列であって $A$ が単射的対象であるものとする．すると列は分裂し， $B$ が単射的であることと $C$ が単射的であることは同値である^[1]．

充分単射的対象をもつ

${\mathfrak {C}}$ を圏とし， $H$ を ${\mathfrak {C}}$ の射のあるクラスとする；圏 ${\mathfrak {C}}$ が充分 $H$ 単射的対象をもつ (have enough $H$ injectives) とは， ${\mathfrak {C}}$ のすべての対象 $X$ に対して， $X$ からある $H$ -単射的対象へのある $H$ 射が存在することをいう．

単射的包絡

${\mathfrak {C}}$ における $H$ 射 $g$ が $H$ 本質的 ( $H$ -essential) であるとは，任意の射 $f$ に対して，合成 $fg$ が $H$ に属するのは $f$ が $H$ に属するときに限ることをいう． $H$ が単射全体のクラスであるとき， $g$ は本質的単射（英語版）と呼ばれる．

$f$ が $H$ 本質的 $H$ 射であって，始域が $X$ , 余域が $H$ 単射的な $G$ であるとき， $G$ は $X$ の $H$ 単射的包絡 ( $H$ -injective hull) と呼ばれる．するとこの $H$ 単射的包絡は，標準的でない同型の違いを除いて一意的である．

例

アーベル群と群準同型の圏において，単射的対象は可除群である．
加群と加群準同型の圏 $R -Mod$ において，単射的対象は単射的加群である． $R -Mod$ は単射的包絡をもつ（したがって $R -Mod$ は充分単射的対象をもつ）．
距離空間とnonexpansive mapping（英語版）の圏 $Met$ において，単射的対象は超凸距離空間（英語版）であり，距離空間の単射的包絡はその超凸包（英語版）である．
$T 0$ 空間と連続写像の圏において，単射的対象は必ず連続束上のスコット位相であり，したがってそれは必ずsober（英語版）かつ局所コンパクトである．
単体的集合（英語版）の圏において，anodyne extensions のクラスに関する単射的対象はカン複体（英語版）である．
半順序集合と単調写像の圏において，完備束は順序埋め込み（英語版）に対する単射的対象をなし，半順序集合の Dedekind–MacNeille 完備化（英語版）はその単射的包絡である．
より一般の圏，例えば関手圏や，環付き空間 $(X, O X)$ 上の $O X$ 加群の層の圏においても単射的対象を考えることができる．

脚注

^ 証明：列は分裂するから $B$ は $A$ と $C$ の直和である．

参考文献

J. Rosicky, Injectivity and accessible categories
F. Cagliari and S. Montovani, T₀-reflection and injective hulls of fibre spaces

[1] 証明：列は分裂するから $B$ は $A$ と $C$ の直和である．

[1]

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