ハミルトン-ヤコビ-ベルマン方程式
ハミルトン-ヤコビ-ベルマン(HJB)方程式（ハミルトン–ヤコビ–ベルマンほうていしき、英: Hamilton–Jacobi–Bellman equation）は、最適制御理論の根幹をなす偏微分方程式である。
その解を「価値関数(value function)」と呼び、対象の動的システムとそれに関するコスト関数(cost function)の最小値を与える。
HJB方程式の局所解は最適性の必要条件を与えるが、全状態空間で解けば必要十分条件を与える。解は開ループ制御則となるが、閉ループ解も導ける。以上の手法は確率システムへも拡張することができるほか、古典的変分問題、例えば最速降下線問題も解くことができる。
HJB方程式は1950年代のリチャード・ベルマンとその共同研究者を先駆とする「動的計画法(Dynamic programming)」理論の成果として得られた[1]。その離散時間形式は通常「ベルマン方程式」と呼称される。
連続時間においては、古典物理学におけるハミルトン-ヤコビ方程式 (ウィリアム・ローワン・ハミルトン (William Rowan Hamilton) および、カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ (Carl Gustav Jacob Jacobi)による) の拡張形とみなせる。
最適制御問題
時間範囲 
- Bellman, R. E. (1954). “Dynamic Programming and a new formalism in the calculus of variations”. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 40 (4): 231-235. PMC 527981. PMID 16589462.
- Bellman, R. E. (1957). Dynamic Programming. Princeton - 邦訳なし。
- Bellman, R. (1959). “An Application of Dynamic Programming to the Determination of Optimal Satellite Trajectories”. J. Brit.Interplanet. Soc. 17: 78-83.
関連文献
- Dimitri P. Bertsekas (2005). Dynamic programming and optimal control. Athena Scientific
- 川合敏雄「自然法則と最適制御」『日本物理学会誌』第41巻第3号、1986年3月、227-235頁。 - ポントリャーギンの最大原理とハミルトニアンについて平易に解説したエッセイ。
HJB方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/19 10:25 UTC 版)
「ハミルトン-ヤコビ-ベルマン方程式」の記事における「HJB方程式」の解説
このシステムに関するハミルトン-ヤコビ-ベルマン(HJB)方程式は次の偏微分方程式で表される。 V ˙ ( x , t ) + min u { ∇ V ( x , t ) ⋅ F ( x , u ) + C ( x , u ) } = 0 {\displaystyle {\dot {V}}(x,t)+\min _{u}\left\{\nabla V(x,t)\cdot F(x,u)+C(x,u)\right\}=0} その終端条件は以下の通り。 V ( x , T ) = D ( x ) , {\displaystyle V(x,T)=D(x),\,} ここで、 a ⋅ b {\displaystyle a\cdot b} はベクトル a {\displaystyle a} と b {\displaystyle b} の内積、 ∇ {\displaystyle \nabla } は 勾配 オペレーター。 上述の方程式に現れる未知のスカラー関数 V ( x , t ) {\displaystyle V(x,t)} をベルマンの「価値関数」と呼ぶ。 V ( x , t ) {\displaystyle V(x,t)} は初期状態 x {\displaystyle x} と時刻 t {\displaystyle t} から、時刻 T {\displaystyle T} までシステムを最適に制御した場合に得られる最小コストを表している。
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