Linear Quadratic Gaussian (LQG)制御への応用
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/19 10:25 UTC 版)
「ハミルトン-ヤコビ-ベルマン方程式」の記事における「Linear Quadratic Gaussian (LQG)制御への応用」の解説
一例として、二次形式のコスト関数を持つ線形確率システムの問題を扱ってみよう。 以下のダイナミクスを持つシステムを考える。 d x t = ( a x t + b u t ) d t + σ d w t , {\displaystyle dx_{t}=(ax_{t}+bu_{t})dt+\sigma dw_{t},} 微分コスト関数が、 C ( x t , u t ) = r ( t ) u t 2 / 2 + q ( t ) x t 2 / 2 {\displaystyle C(x_{t},u_{t})=r(t)u_{t}^{2}/2+q(t)x_{t}^{2}/2} で与えられるとすれば、HJB方程式は以下のように与えられる。 − ∂ V ( x , t ) ∂ t = 1 2 q ( t ) x 2 + ∂ V ( x , t ) ∂ x a x − b 2 2 r ( t ) ( ∂ V ( x , t ) ∂ x ) 2 + 1 2 σ 2 ∂ 2 V ( x , t ) ∂ x 2 . {\displaystyle -{\frac {\partial V(x,t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}q(t)x^{2}+{\frac {\partial V(x,t)}{\partial x}}ax-{\frac {b^{2}}{2r(t)}}\left({\frac {\partial V(x,t)}{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}V(x,t)}{\partial x^{2}}}.} 二次形式の価値関数を仮定する事により、通常のLQG制御と同様に、価値関数のヘシアンに関する一般的な リカッチ方程式を得ることが出来る。
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