フーリエ・モツキンの消去法

ウィキペディア

フーリエ・モツキンの消去法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/03 04:35 UTC 版)

フーリエ・モツキンの消去法（英: Fourier-Motzkin elimination）とは、数理論理学および計算機科学において、一次不等式からなる一階述語論理式の限量子（∀や∃）を除去するアルゴリズム。限量子消去法（英: Quantifier elimination）の1つ。1826年にジョゼフ・フーリエが発見し、1918年に L. L. Dines が再発見し、1936年に Theodore Motzkin が再々発見した^[1]。

アルゴリズム

以下の手順を繰り返し行い、限量子を除去していく^[2]。変数の定義域は実数もしくは有理数。

1. 以下の置き換えを行う。
   1. 等式や不等式に ￢ がかかる物は反転させる。
   2. a ≧ b は b ≦ a へ
   3. a ＞ b は b ＜ a へ
   4. a ＝ b は (a ≦ b) ∧ (b ≦ a) へ
   5. ∀x. P(x) は ￢ ∃x. ￢ P(x) へ
2. 下記簡略化は随時行う。
   1. 常に成り立つ もしくは 常に不成立な不等式は真や偽に置き換える。
   2. 真や偽が ∧ や ∨ や ￢ に付く場合は適切に論理式を簡略化する。
   3. ∃x. P(x) の形式において、P(x) が x を使用してなければ、∃x. を取り除く。
3. ∃x. P(x) の形式で、P(x) に限量子が出てこない物を探し、P(x) を選言標準形に変換する。
4. ∃x. (P(x) ∨ Q(x)) ⇔ (∃x. P(x)) ∨ (∃x. Q(x)) の変換を行う。
5. Q が x を使用していない場合、∃x. (P(x) ∧ Q) ⇔ (∃x. P(x)) ∧ Q の変換を行う。
6. 下記公式を使い、限量子を除去する。

   ${\displaystyle \exists x.\left(\bigwedge _{h}c_{h}\leq a_{h}x\right)\land \left(\bigwedge _{i}c_{i}<a_{i}x\right)\land \left(\bigwedge _{j}b_{j}x\leq d_{j}\right)\land \left(\bigwedge _{k}b_{k}x<d_{k}\right)}$