チャーン・ヴェイユ準同型

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チャーン・ヴェイユ準同型

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/06/12 20:03 UTC 版)

陈・ヴェイユ準同型（英: Chern–Weil homomorphism）、またはチャーン・ヴェイユ準同型とは、チャーン・ヴェイユ理論の基本構成であり、微分可能多様体 M に対して M のド・ラームコホモロジーと M の曲率を関連付けている。つまり、（微分）幾何学とトポロジーの関連づけを意味する。1940年代以来の陳省身とアンドレ・ヴェイユの理論は、特性類の理論での重要なステップである。この理論はガウス-ボネの定理の一般化でもある。

$\mathbb {K}$ により実数 もしくは 複素数 を表すことにする。G は実もしくは複素リー群でリー代数 ${\mathfrak {g}}$ を持っているとする。

$\mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})$

で、 ${\mathfrak {g}}$ の上の $\mathbb {K}$ に値を持つ多項式のベクトル空間の代数を表すとする。 $\mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}$ を G の随伴作用の下で次の条件を満たす $\mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})$ の固定点のなす部分代数とする。すべての $f\in \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}.\,$ に対して、

$f(t_{1},\dots ,t_{k})=f(Ad_{g}t_{1},\dots ,Ad_{g}t_{k})\,$

チャーン・ヴェイユ準同型は、 $\mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}$ からコホモロジー代数（環） $H^{*}(M,\mathbb {K} )$ への準同型である。そのような準同型が存在れば、すべての M 上のG-主バンドル P に対して一意的に決まる。もし G がコンパクトであれば、この準同型の下に G-バンドルの分類空間 B^G のコホモロジー代数（環）は、次の不変多項式の代数（環） $\mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}$ に同型である。

$H^{*}(B^{G},\mathbb {K} )\cong \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}.$

SL(n,R) のような非コンパクト群に対しては、不変多項式によって表現できないようなコホモロジー類が存在する可能性がある。

準同型の定義

P の中の任意の接続形式 ω を選び、 $\Omega$ を ω についての曲率 2-形式とする。 $f\in \mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}$ が次数 k の同次多項式として、 $f(\Omega )$ を

$f(\Omega )(X_{1},\dots ,X_{2k})={\frac {1}{(2k)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{2k}}\epsilon _{\sigma }f(\Omega (X_{\sigma (1)},X_{\sigma (2)}),\dots ,\Omega (X_{\sigma (2k-1)},X_{\sigma (2k)}))$

で与えられる P 上の 2k-形式とする。ここに $\epsilon _{\sigma }$ は 2k 個の対称群 ${\mathfrak {S}}_{2k}$ の置換の符号 $\sigma$ である。

すると次のことが示される。

$f(\Omega )$

は閉形式であり、

$df(\Omega )=0,\,$

で、ド・ラームコホモロジー類

$f(\Omega )\,$

は P の接続の選択に依存しないので、主バンドルにのみ依存する。

このようにして f から得られるコホモロジー類

$\phi (f)\,$

について、代数（環）準同型

$\phi :\mathbb {K} ({\mathfrak {g}}^{*})^{Ad(G)}\rightarrow H^{*}(M,\mathbb {K} ).\,$

を得る。

参考文献

• Bott, R. (1973), “On the Chern-Weil homomorphism and the continuous cohomology of Lie groups”, Advances in Math 11: 289?303, doi:10.1016/0001-8708(73)90012-1 .
• Chern, S.-S. (1951), Topics in Differential Geometry, Institute for Advanced Study, mimeographed lecture notes .
• Shiing-Shen Chern, Complex Manifolds Without Potential Theory (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0.

  The appendix of this book: "Geometry of Characteristic Classes" is a very neat and profound introduction to the development of the ideas of characteristic classes.

• Chern, S.-S.; Simons, J (1974), “Characteristic forms and geometric invariants”, The Annals of Mathematics, Second Series 99 (1): 48-69, JSTOR 1971013, https://jstor.org/stable/1971013 .
• Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963), Foundations of Differential Geometry, Vol. 2 (new ed.), Wiley-Interscience (2004発行) .
• Narasimhan, M.; Ramanan, S. (1961), “Existence of universal connections”, Amer. J. Math. 83: 563-572, doi:10.2307/2372896, JSTOR 2372896, https://jstor.org/stable/2372896 .
• 特性類と幾何学　森田茂之著　岩波書店