AR(1) 過程の解析的な平均と差分の形式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/15 01:42 UTC 版)
「自己回帰モデル」の記事における「AR(1) 過程の解析的な平均と差分の形式」の解説
AR(1) 過程は連続時間におけるオルンシュタイン＝ウーレンベック過程の離散時間のアナロジーである。ゆえに AR(1) モデルの性質を理解するために同様の形式に変換することが時として有用になる。この形式において AR(1) モデルは以下で与えられる。 X t + 1 = X t + θ ( μ − X t ) + ϵ t + 1 {\displaystyle X_{t+1}=X_{t}+\theta (\mu -X_{t})+\epsilon _{t+1}\,} ここで | θ | < 1 {\displaystyle |\theta |<1\,} であり μ {\displaystyle \mu } はモデルの平均である。これを X t + 1 = c + ϕ X t {\displaystyle X_{t+1}=c+\phi X_{t}\,} の式に当てはめ X t + n {\displaystyle X_{t+n}\,} についての系列に展開することで次が示される。 E ( X t + n | X t ) = μ [ 1 − ( 1 − θ ) n ] + X t ( 1 − θ ) n {\displaystyle \operatorname {E} (X_{t+n}|X_{t})=\mu \left[1-\left(1-\theta \right)^{n}\right]+X_{t}(1-\theta )^{n}} , and Var ( X t + n | X t ) = σ 2 [ 1 − ( 1 − θ ) 2 n ] 1 − ( 1 − θ ) 2 {\displaystyle \operatorname {Var} (X_{t+n}|X_{t})=\sigma ^{2}{\frac {\left[1-(1-\theta )^{2n}\right]}{1-(1-\theta )^{2}}}} .
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