ARパラメータの計算
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/18 11:22 UTC 版)
「自己回帰移動平均モデル」の記事における「ARパラメータの計算」の解説
AR(p)モデルは次の方程式で与えられる。 X t = ∑ i = 1 p φ i X t − i + ε t . {\displaystyle X_{t}=\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\varepsilon _{t}.\,} これはパラメータ φ i {\displaystyle \varphi _{i}} （i = 1, ..., p）に基づいている。これらパラメータは以下の Yule-Walker方程式で計算できる可能性がある。 γ m = ∑ k = 1 p φ k γ m − k + σ ε 2 δ m {\displaystyle \gamma _{m}=\sum _{k=1}^{p}\varphi _{k}\gamma _{m-k}+\sigma _{\varepsilon }^{2}\delta _{m}} ここで m = 0, ... , p であり、p + 1 個の方程式となる。 γ m {\displaystyle \gamma _{m}} は X の自己共分散関数、 σ ε {\displaystyle \sigma _{\varepsilon }} は入力ノイズ過程の標準偏差、δm はクロネッカーのデルタである。 この式の最後の部分は m = 0 のときだけ 0 でない値となるので、この方程式は一般に m > 0 のときの行列式で表すことで解ける。 [ γ 1 γ 2 γ 3 ⋮ ] = [ γ 0 γ − 1 γ − 2 … γ 1 γ 0 γ − 1 … γ 2 γ 1 γ 0 … … … … … ] [ φ 1 φ 2 φ 3 ⋮ ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\gamma _{1}\\\gamma _{2}\\\gamma _{3}\\\vdots \\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma _{0}&\gamma _{-1}&\gamma _{-2}&\dots \\\gamma _{1}&\gamma _{0}&\gamma _{-1}&\dots \\\gamma _{2}&\gamma _{1}&\gamma _{0}&\dots \\\dots &\dots &\dots &\dots \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varphi _{1}\\\varphi _{2}\\\varphi _{3}\\\vdots \\\end{bmatrix}}} これにより φ {\displaystyle \varphi } が全て求められる。また、m = 0 のときは次のようになる。 γ 0 = ∑ k = 1 p φ k γ − k + σ ε 2 {\displaystyle \gamma _{0}=\sum _{k=1}^{p}\varphi _{k}\gamma _{-k}+\sigma _{\varepsilon }^{2}} これにより σ ε 2 {\displaystyle \sigma _{\varepsilon }^{2}} が求められる。
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