6. 置換公理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/08 15:26 UTC 版)
「ツェルメロ＝フレンケル集合論」の記事における「6. 置換公理」の解説
詳細は「置換公理」を参照 置換公理は、定義可能な関数において集合の像も集合内にあると主張する。 厳密には、ZFCの言語で ϕ {\displaystyle \phi } を 自由変数 x , y , A , w 1 , … , w n {\displaystyle x,y,A,w_{1},\dotsc ,w_{n}} が含まれる任意の式とすると、次のように表される（ B {\displaystyle B} は自由変数ではない） ： ∀ A ∀ w 1 ∀ w 2 … ∀ w n [ ∀ x ( x ∈ A ⇒ ∃ ! y ϕ ) ⇒ ∃ B ∀ x ( x ∈ A ⇒ ∃ y ( y ∈ B ∧ ϕ ) ) ] . {\displaystyle \forall A\forall w_{1}\forall w_{2}\ldots \forall w_{n}{\bigl [}\forall x(x\in A\Rightarrow \exists !y\,\phi )\Rightarrow \exists B\ \forall x{\bigl (}x\in A\Rightarrow \exists y(y\in B\land \phi ){\bigr )}{\bigr ]}.} ∃ ! {\displaystyle \exists !} の意味は、一意存在量化子を参照せよ。 言い換えれば、関係 ϕ {\displaystyle \phi } が定義可能な関数 f {\displaystyle f} を表し、 A {\displaystyle A} が f {\displaystyle f} の定義域を表し、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} が任意の x ∈ A {\displaystyle x\in A} に対して集合であるとすると、 f {\displaystyle f} の値域はある集合 B {\displaystyle B} の部分集合となる。 B {\displaystyle B} が十分に大きい場合、この公理はコレクションの公理と呼ばれることもある。
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