２項定理

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二項定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/04/20 01:01 UTC 版)

二項係数を並べるとパスカルの三角形が構成される。各要素はその上にある2つの要素の和に等しい。

初等代数学における二項定理（にこうていり、英: binomial theorem）または二項展開 (binomial expansion) とは、二項式の冪を代数的に展開した式を表したものである。

定理の主張から、冪 (x + y)ⁿ を展開すると、n次の項 (n
k) x^n−k y^k (0 ≤ k ≤ n)^{[注 1]}の総和になる。ここでの係数 (n
k) を二項係数と呼び、正整数となる。

二項係数 (n
k) は2つの観点から解釈することができる。一つには

${\displaystyle {\dbinom {n-1}{k-1}}+{\dbinom {n-1}{k}}={\dbinom {n}{k}}}$

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