２項係数

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二項定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/09/22 05:21 UTC 版)

二項係数を並べるとパスカルの三角形が構成される。各要素はその上にある2つの要素の和に等しい。

初等代数学における二項定理（にこうていり、英: binomial theorem）または二項展開 (binomial expansion) とは、二項式の冪を代数的に展開した式を表したものである。

定理の主張から、冪 (x + y)ⁿ を展開すると、n次の項 (n
k) x^n−k y^k (0 ≤ k ≤ n)の総和になる。ここでの係数 (n
k) を二項係数と呼び、自然数となる。

二項係数 (n
k) は2つの観点から解釈することができる。一つには

${\dbinom {n-1}{k-1}}+{\dbinom {n-1}{k}}={\dbinom {n}{k}}$

ウィキブックスに二項定理関連の解説書・教科書があります。

• 日本大百科全書(ニッポニカ)『二項定理』 - コトバンク
• 『二項定理の意味と係数を求める例題・２通りの証明』 - 高校数学の美しい物語
• 『一般化二項定理とルートなどの近似』 - 高校数学の美しい物語
• Weisstein, Eric W. “Binomial Theorem”. mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. “Binomial Series”. mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. “Negative Binomial Series”. mathworld.wolfram.com (英語).
• Solomentsev, E. D. (2001) [1994], “Binomial series”, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Solomentsev, E.D. (2001) [1994], “Newton binomial”, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Wolframデモンストレーションプロジェクト
  • Binomial Theorem スティーブン・ウルフラム
  • Binomial Theorem (Step-by-Step) by Bruce Colletti and Jeff Bryant.