頂点_(曲線)

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頂点 (曲線)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/21 22:46 UTC 版)

楕円（赤）とその縮閉線（青）： 楕円の頂点（黒点）はすべて縮閉線の尖点にもなっている。楕円の縮閉線は星芒形である。

平面幾何学において、曲線の頂点（ちょうてん、英: vertex）とは、曲率関数の臨界点が定める曲線上の点である。

単純閉曲線のうちオーバルなどは少なくとも四つの頂点をもつ（四頂点定理）。

定義

より詳しく書けば、滑らかな平面曲線の正則な媒介変数表示 (x, y) = (x(t), y(t)) が与えられ、曲率を

$\kappa (t)={\frac {{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}{({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})^{3/2}}}$

放物線の頂点は一つである。

たとえば、放物線 (x, y) = (t, t²) の曲率は

$\kappa (t)={\frac {2}{(1+4t^{2})^{3/2}}}$