隆起函数の存在
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/17 14:34 UTC 版)
隆起函数は「特殊化」するように構成することが出来る。より具体的に言うと、K を任意の n 次元コンパクト集合とし、U をある開集合で K を含むものとすると、K 上で 1 となり U の外側で 0 となるような隆起函数 φ が存在する。U は K の非常に小さい近傍として取ることが出来るため、K 上では 1 であり K の外側では急速に 0 となるが依然として滑らかな函数を構成することが出来る。 そのような構成法は以下のような手順で表される。U に含まれる K のあるコンパクトな近傍 V を考える。すなわち K ⊂ Vo ⊂ V ⊂ U が成立する。このとき V の特性函数 χ V {\displaystyle \chi _{V}} は、V 上で 1 となり V の外側で 0 となるものである。特に K 上で 1 となり U の外側で 0 となることに注意されたい。しかしこの函数は滑らかではない。鍵となるアイデアは、 χ V {\displaystyle \chi _{V}} とある軟化子との畳み込みを取ることによって、わずかに χ V {\displaystyle \chi _{V}} を滑らかなものに変える、というものである。そのようにして得られた函数は、非常に小さな台を持ち、積分が 1 であるような隆起函数となる。その軟化子は、例えば前節の隆起函数 Φ {\displaystyle \Phi } に対して適切なスケーリングを行うことによって得られる。
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